§ 10. Статистическое распределение результатов измерения в общем случае

Предположим, что А — наблюдаемая. Ввиду того, что разложение (34) существует для любой квадратично интегрируемой функции можно (при условии сходимости) определить действие на функцию оператора вида

Для сокращения обозначений будем предполагать, что спектр А не имеет вырождения. Тогда

Можно показать, что необходимым и достаточным условием сходимости разложения в правой части является сходимость ряда и интеграла

В общем случае

это определение имеет смысл, если

сходятся. В частности, действие оператора всегда определено, так как выражение

сходится всегда.

Чтобы определить характеристическую функцию распределения , применим соотношение

полученное при использовании разложений (40) и (41) и условий ортонормированиости. Характеристическая функция принимает форму

где

Из вида характеристической функции (сноска б) следует, что:

1°. единственными значениями, которые может принимать величина являются собственные значения сопоставленного этой величине оператора ;

2°. вероятность того, что принимает значение равна

3°. вероятность того, что принимает значение из непрерывного спектра, заключенное в интервале равна

Сумма всех этих вероятностей равна единице (равенство Парсеваля). Находим также, что среднее значение , если оно существует, выражается формулой в согласии с основным постулатом.

В случае вырожденного спектра получаются те же результаты, но следует несколько изменить определение величин Так, при замене разложения (40) на разложение (34),

мы должны взять

В этих выражениях в явном виде присутствует некоторая система собственных функций оператора А. Существует большой произвол в выборе такой системы функций. Очевидно, однако, что закон распределения вероятностей и его характеристическая функция не зависят от этого выбора. Это свойство легко проверить непосредственно на выражениях (43) и (44) (задача 5).