§ 18. Соотношения коммутации для момента импульса

В качестве приложения правил (63) — (65) алгебры коммутаторов вычислим коммутаторы составляющих момента импульса частицы:

Имеем:

Два других коммутатора могут быть получены циклической перестановкой. Получаем

Три компоненты момента импульса частицы не коммутируют друг с другом. Не существует полной ортонормированной системы собственных функций, общей для какой-нибудь пары компонент. Другими словами, две компоненты момента импульса в общем случае не могут быть одновременно точно определены.

Заметим, с другой стороны, что (правило (65))

Складывая эти равенства, имеем (правило (64))

где оператор

есть квадрат длины вектора I.

Операторы коммутируют; следовательно, они могут быть одновременно точно определены. Пары обладают тем же свойством.