§ 18. Соотношения коммутации для момента импульса
В качестве приложения правил (63) — (65) алгебры коммутаторов вычислим коммутаторы составляющих момента импульса частицы:
Имеем:
Два других коммутатора могут быть получены циклической перестановкой. Получаем
Три компоненты момента импульса частицы не коммутируют друг с другом. Не существует полной ортонормированной системы собственных функций, общей для какой-нибудь пары компонент. Другими словами, две компоненты момента импульса в общем случае не могут быть одновременно точно определены.
Заметим, с другой стороны, что (правило (65))
Складывая эти равенства, имеем (правило (64))
где оператор
есть квадрат длины вектора I.
Операторы
коммутируют; следовательно, они могут быть одновременно точно определены. Пары
обладают тем же свойством.