§ 12. Число узлов связанных состояний

Рассмотрим теперь собственные функции (если они существуют) дискретного спектра. В этом случае нет вырождения; следовательно, эти функции наверняка действительны с точностью до постоянного фазового множителя.

Вернемся к обозначениям на стр. 103. Предположим, что функции действительны, и применим соотношение (27), взяв в качестве пределов интегрирования два последовательных нуля функции Получаем

В интервале функция сохраняет свой знак. Предположим, например, что . В этом случае Следовательно, функция в интервале наверняка меняет знак. Если бы это было не так, то правая часть уравнения имела бы знак а левая часть — противоположный знак. Поэтому обязательно имеет по крайней мере один нуль внутри интервала Между двумя узлами всегда имеется по крайней мере один узел

Предположим, что являются собственными функциями дискретного спектра. Обе они обращаются в нуль («экспоненциально») на границах интервала (пусть число их равно делят весь интервал на частичных интервалов. К каждому из них можно применить только что доказанное свойство: функция имеет по крайней мере узел. Таким образом, собственная функция имеет тем больше узлов, чем выше собственное значение, которому она соответствует.

Повторяя рассуждения на стр. 109, касающиеся построения собственных функций, и учитывая увеличение числа узлов функций и по мере увеличения энергии можно получить следующее более точное утверждение (задачи 4 и 5).

Если расположить собственные состояния по порядку возрастания энергии то собственные функции оказываются расположенными по возрастающему числу узлов. При этом собственная функция имеет узел и между каждыми двумя узлами функции имеется по крайней мере один узел следующих по номеру собственных функций.