§ 9. Разложение по собственным функциям в общем случае. Условие замкнутости

Вернемся вновь к уравнению (9) на собственные значения

Здесь мы уже не будем предполагать, что собственные решения уравнения имеют ограниченную норму. Потребуем только, чтобы скалярные произведения этих решений на произвольную волновую функцию (т. е. на любую функцию с ограниченной нормой) были ограничены.

В самом общем случае множество собственных значений задачи может содержать:

1°. Дискретный спектр значений которые образуют либо конечное множество, либо бесконечное, но счетное множество и могут быть перенумерованы дискретным целым индексом

2°. Непрерывный спектр значений которые нумеруются непрерывным индексом изменяющимся в некоторой области.

Собственные функции дискретного спектра имеют конечную норму. Все свойства дискретного спектра были изучены в § 5, и мы не будем к этому возвращаться.

Пусть — собственная функция непрерывного спектра, принадлежащая собственному значению Это непрерывная функция параметра норма которой, очевидно, неограничена («вектор бесконечной длины» в функциональном пространстве). Однако будем предполагать, что собственный дифференциал

является функцией с ограниченной нормой, которая стремится к некоторой постоянной, когда стремится к нулю. Мы знаем, что собственные функции непрерывного спектра гамильтониана физической системы в одном измерении обладают этим свойством (ср. гл. III); нетрудно проверить, что собственные функции операторов и предшествующего параграфа также обладают этим свойством.

Часто говорят, что функция нормируема, если она обладает ограниченной нормой. Мы будем применять этот термин также и к функциям с бесконечной нормой, если собственный дифференциал, образованный из этих функций, имеет конечную норму. Таким образом, собственные функции непрерывного спектра нормируемы (в указанном смысле), хотя они и не принадлежат пространству Гильберта.

Пользуясь соотношением (8) (которое имеет смысл только для квадратично интегрируемых Ф и ?), но применяя его не к собственным функциям как таковым, а к собственным дифференциалам, можно получить основные свойства непрерывного спектра и сопоставить их тем, которые были получены в § 5 для дискретного спектра:

1°. Всякое собственное значение вещественно.

2°. Две собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу. Это свойство ортогональности должно быть обобщением соотношения (111.42). Неверно было бы писать

так как скалярное произведение вообще говоря, расходится. Однако имеем

если находится вне интервала Доказательство не трудно, и мы предоставляем его читателю.

Если собственные значения непрерывного спектра невырождены, всегда можно нормировать функции так, чтобы

Случай вырожденных собственных значений также не представляет существенных трудностей. Ограничимся формулировкой результатов. Каждому собственному значению принадлежит в зависимости от характера вырождения либо конечное, либо бесконечное (счетное или континуальное) множество линейно независимых собственных функций. Эти функции можно

снабдить либо индексом, принимающим конечное число значений, либо одним или несколькими индексами, принимающими бесконечное число дискретных значений, либо одним или несколькими индексами, изменяющимися непрерывно, либо даже некоторым числом дискретных индексов и некоторым числом непрерывных. Предположим для определенности, что необходимо использовать один дискретный индекс и один индекс меняющийся непрерывно.

Всегда можно сделать так, чтобы собственные функции были ортонормированными в обобщенном смысле:

Будучи присоединены к ортонормированным собственным функциям дискретного спектра они вместе образуют ортонормированную систему собственных функций эрмитового оператора А; всякая собственная функция оператора А может быть лредставлена как линейная комбинация функций этой системы.

Предположим, что некоторая волновая функция представима в виде ряда по этим функциям, т. е.

Коэффициенты при каждой функции в этом разложении получаются при умножении (скалярном) обеих частей равенства слева на соответствующую собственную функцию; учитывая соотношения ортонормированности, получаем

С помощью тех же соотношений получаем обобщенное равенство Парсеваля

Если такое представление возможно для всех волновых функций (т. е. для всех квадратично интегрируемых функций), то говорят, что система является полной ортонормированной системой функций.

Существует простой способ выразить тот факт, что ортонормированная система является полной: следует записать разло жение (34) для функции

Коэффициенты такого разложения получатся, если в выражениях (35) — (36) вместо функции подставить . Тогда получается так называемое соотношение замкнутости

Присоединяя его к соотношениям ортонормированиости:

получаем совокупность условий, необходимых и достаточных для того, чтобы система была ортонормированной и полной.

Разложение (34) с правильными значениями коэффициентов (35) получается, если записать

а затем вместо -функции подставить разложение (37).

Заметим, что полная ортонормированная система, если она существует, не является единственной. Действительно, можно как и в случае полностью дискретного спектра:

Г. Произвольно изменять фазу каждой из собственных, функций.

2°. Выбирать бесконечным числом различных способов совокупность ортонормированных функций, принадлежащих одному вырожденному собственному значению.

3°. Кроме того, существует произвол в нормировке собственных функций непрерывного спектра. Действительно можно заменить каждый непрерывный индекс на индекс где есть произвольная непрерывная дифференцируемая монотонная функция Условие нормировки (38 в) при этом заменяется аналогичным условием, в которое входит индекс оно будет удовлетворено, если в качестве новой собственной функции взять функцию

Не все эрмитовы операторы обладают полной ортонормированной системой собственных функций. Однако эрмитовы операторы, представляющие физические величины, такой системой обладают: по этой причине мы будем называть такие операторы наблюдаемыми. Доказательство того факта, что некоторый эрмитов оператор есть наблюдаемая, является обычно сложной математической задачей. Она была решена в ряде случаев для таких операторов как операторы положения и импульса, гамильтониан системы в одном измерении, оператор момента импульса и т. д. Это свойство столь тесно связано с физической интерпретацией указанных операторов, что в случае его невыполнения потребовалась бы ревизия основ формализма теории. Мы будем предполагать, что оно всегда выполняется.