§ 7. Решения ВКБ в одном измерении

Наиболее интересные применения метода ВКБ дают одномерные задачи. Поэтому мы ограничимся рассмотрением одномерных задач и будем искать стационарные решения уравнения Шредингера, не зависящего от времени (уравнения (22) - (23)). Метод, развитый здесь, может, вообще говоря, служить и для решения уравнения Шредингера в трех измерениях, ибо в большинстве случаев оно сводится к решению волновых уравнений в одном измерении путем разделения угловых и радиальных переменных (см. гл. IX).

Пусть есть волновая функция, удовлетворяющая уравнению Шредингера,

Полагая

— четные функции получаем эквивалентную систему уравнений

Уравнение непрерывности (36) интегрируется и дает

Подставляя это выражение для А в уравнение (35), получаем уравнение

Это дифференциальное уравнение третьего порядка строго эквивалентно уравнению Шредингера, из которого мы исходили.

Приближение ВКБ состоит в разложении в ряд по степеням

подстановки этого разложения в уравнение (38) и сохранении только членов нулевого порядка

Это приближенное уравнение интегрируется без затруднений. Следует различать два случая:

1. Случай

Определим длину волны

Уравнение (40) удовлетворяется, если Решение ВКБ представляет собой линейную комбинацию осциллирующих функций

( — произвольные постоянные).

2. Случай (область, запрещенная для классических частиц).

Пусть

Уравнение (40) удовлетворяется, если Решение ВКБ представляет собой линейную комбинацию действительных экспонент