§ 3. Движение и расплывание волновых пакетов

Для того чтобы движение волнового пакета можно было сопоставлять движению классической частицы необходимо, во-первых, чтобы изменения во времени положения пакета в пространстве и его импульса следовали законам классической механики, а во-вторых, чтобы размеры пакета в пространстве были достаточно малыми в любой момент времени. В действительности, как это предсказывает теорема Эренфеста, первое условие редко выполняется без второго; рассмотрим поэтому второе условие.

Основные результаты можно получить, исследуя движение волнового пакета в одном измерении Пусть гамильтониан имеет вид

Выясним, как изменяются во времени средние значения , а также соответствующие дисперсии

Б классическом приближении пакет представляет частицу, имеющую координату и импульс

соответственно. Отметим, что энергия этой классической частицы

не равна среднему значению . Если классическое приближение справедливо, постоянна во времени вместе с разностью

Если протяженность пакета остается малой, естественно заменить функции их разложениями Тейлора около точки именно

Здесь равны значениям функций в точке Если усреднить обе части равенств (5) и (6), то получится своего рода разложение средних величин в ряд по степеням величины

Используя эти разложения, можно получить общие результаты, не зависящие от конкретной формы потенциала

Величины подчиняются уравнениям Эренфеста:

Эти уравнения будут тождественны классическим, если правая часть уравнения (96) может быть заменена первым членом своего разложения (8), т. е. когда можно пренебречь членом и членами более высокого порядка малости. Соответствующие члены исчезают, если всюду равно нулю, т. е. если является полиномом самое большее второго порядка по , в частности, при (гармонический осциллятор) или (свободная частица). В общем случае необходимо, чтобы потенциал достаточно медленно изменялся на расстояниях порядка т. е. на расстояниях порядка протяженности волнового пакета, так чтобы влияние V" и производных более высокого порядка в разложении (8) было достаточно мало.

Если предположить выполнение этих условий (что эквивалентно предположению о быстрой сходимости разложений (7) и (8)), то для постоянной (см. уравнение (4)) получаем выражение

связывающее квадраты флуктуаций

Ограничимся исследованием эволюции с течением времени. Величина х. есть среднее значение оператора явно зависящего от времени, так как есть функция времени. Применяя соотношение (V. 72) к этому ратору, получаем после вычислений

Повторяя такие же вычисления для находим

Заменяя в скобках в правой части уравнения оператор V на два первых члена его разложения (6), получаем приближенное уравнение

которое мы можем записать, учитывая (10), в виде

Зная дисперсии а также производную в начальный момент можио получить дисперсию в любой последующий момент времени, решая уравнение (12) (учитывая, конечно, что величина может зависеть от времени); после этого дисперсия находится из уравнения (10). Можно оценить и ошибку, возникающую при замене (V) на в уравнении (96). Таким образом, присутствуют все необходимые элементы для решения вопроса о возможности сопоставления волнового пакета и классической частицы.

Наиболее интересными примерами являются гармонический осциллятор и свободная частица, так как в этих случаях движение центра пакета совпадает с движением классической частицы. Для гармонического осциллятора среднее значение колеблется около нуля с частотой а дисперсия колеблется около значения с удвоенной частотой (см. задачу 1).

В случае свободной частицы среднее значение закону равномерного прямолинейного движения со скоростью дисперсия со остается постоянной а для дисперсии имеем уравнение (уравнения (11) и (12) в этом случае являются точными). Решая это уравнение, находим

Мы видим, что по истечении достаточно большого промежутка времени дисперсия пакета становится сколь угодно большой: волновой пакет для свободной частицы «расплывается».

Явление бесконечного расплывания пакета имеет важное значение, ибо ограничивает тот промежуток времени, в течение которого волновой пакет может быть сопоставлен классической частице. Кроме некоторых специальных случаев (гармонический осциллятор) расплывание пакета происходит всегда, например, в задачах о рассеянии, когда вдали от рассеивающего центра волновой пакет движется как волновой пакет для свободной частицы.

Закон расплывания волнового пакета для свободной частицы упрощается, если предположить, что в начальный момент времени мы имеем так называемый «минимизирующий» пакет,

т. е. пакет, для которого левая часть соотношения неопределенности имеет минимально возможное значение; в этом случае задачу IV. 4). Тогда

или

Форма члена, вызывающего расплывание, подсказывает простой классический образ, позволяющий описать процесс расплывания пакета. Можно представить себе группу частиц, сконцентрированных в начальный момент времени около среднего значения в области с размерами причем скорости частиц также распределены в интервале около групповой скорости пакета . Дисперсия по скорости приводит к тому, что частицы, первоначально находившиеся в одной точке, к моменту времени равномерно распределятся по области следовательно, первоначальная концентрация не сохраняется, и размеры «сгустка» частиц увеличиваются, следуя закону (14).

Этот закон, впрочем, может быть записан и в другой форме:

где есть расстояние, проходимое волновым пакетом за время — средняя длина волны. Расплывание волнового пакета свободной частицы пренебрежимо мало, если

Нетрудно показать, что протяженность пакета всегда превосходит длину (заметим, что ).