§ 9. Разложение по парциальным волнам
Уравнение Шредингера (20) может быть решено методом разделения угловых и радиальных переменных. Этот метод не представляет большого интереса для чисто кулоновского рассеяния, так как мы обладаем более прямым методом. Кроме того, имея дело с потенциалом дальнего действия, мы заранее знаем, что разложение амплитуды рассеяния 
по сферическим функциям будет плохо сходиться. Однако разложение по парциальным волнам оказывается полезным в таких задачах, когда к чисто кулоновскому взаимодействию добавляется некоторое взаимодействие с ограниченным радиусом, ибо присутствие этого дополнительного взаимодействия влияет только на первые члены разложения по сферическим гармоникам и, следовательно, разложение разности 
быстро сходится.
Разделение угловых и радиальных переменных уже было проведено для случая атома водорода. В наших новых обозначениях уравнение (4) записывается в форме
Чтобы построить решения этого уравнения, действуем как в задаче об атоме водорода, производя замену искомой функции и переменной:
тогда 
есть решение уравнения Лапласа (см. уравнение (12))
Известны асимптотические разложения (Б.10-11) двух нерегулярных решений этого уравнения 
. На их основе можно получить асимптотическую форму общего решения (39) и в результате короткого вычисления — асимптотическую форму общего решения (37): это линейная комбинация двух экспоненциальных функций
Мы знаем, что решение (39), регулярное в начале координат, есть гипергеометрическая функция 
; это сумма двух функций 
(уравнение (Б.9)). Соответствующее решение уравнения (37) в асимптотической области пропорционально функции 
где
Величина 
называется кулоновским фазовым сдвигом. По определению регулярной кулоновской волновой функцией 
является регулярное решение уравнения (37) с асимптотической формой
Согласно предыдущему
при этом постоянная 
должна быть выбрана так, чтобы 
удовлетворяла условию (41), а именно
Вещественная функция 
часто называется регулярной сферической кулоновской функцией; это функция 
зависящая от параметра у.
Можно определить также «нерегулярные сферические кулоновские функции». Это решения уравнения (37), нерегулярные в начале координат. Наиболее часто употребляемые функции определены в § Б. 5. Укажем здесь только сходящуюся и расходящуюся волны 
с асимптотическими формами
Эти функции являются комплексно сопряженными, причем
