§ 4. Скалярное произведение
По определению скалярное произведение кет-вектора 
на кет-вектор 
есть число (в общем случае комплексное) 
, т. е. значение 
принимаемое линейной функцией, ассоциированной с бра-вектором, сопряженным 
Как следствие самого определения скалярное произведение является линейным по отношению к 
и антилинейным по отношению к 
Мы предполагаем, что скалярное произведение обладает всеми остальными свойствами, характерными для скалярного произведения волновых функций в волновой механике (§ V. 2), а именно:
1°. Скалярное произведение 
на 
есть величина, комплексно сопряженная скалярному произведению 
на 
:
2°. Всякий вектор и имеет вещественную неотрицательную норму 
Она равна нулю в том и только в том случае, когда вектор 
равен нулю. Из этих свойств вытекает неравенство Шварца: какими бы ни были 
всегда
Равенство имеет место в том и только в том случае, когда векторы 
коллинеарны (т. е. пропорциональны).
Эти аксиомы должны быть дополнены предположением, что пространство кет-векторов 
(а также дуальное ему пространство бра-векторов) является полным и сепарабельным (см. § V. 2): это пространство Гильберта.
По определению два вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. Два подпространства 
ортогональны, если каждый из векторов одного подпространства ортогонален каждому вектору другого подпространства. Очевидно, что в этом случае подпространства 
не имеют ни одного общего вектора; действительно, любой вектор, принадлежащий обоим подпространствам, может быть только
равным нулю, ибо он должен быть ортогонален сам себе, а следовательно, иметь нулевую норму.
Множество векторов, ортогональных к образует подпространство ортогональное 
— это подпространство, дополнительное к Подпространство сводится к нулю, если подпространство 
совпадает с самим пространством 
. Можно показать, что всякий вектор пространства 
может быть единственным образом представлен как сумма вектора из 
и вектора из дополнительного подпространства:
Вектор 
по определению, есть проекция 
на подпространство Мы еще вернемся подробно к понятию проекции в разделе II.
Во всех рассуждениях, касающихся скалярного произведения, молчаливо предполагалось, что векторы (и кет, и бра) обладают конечной нормой, в противном случае аксиома о норме теряет всякий смысл. Если это действительно так, то рассматриваемое пространство кет-векторов есть пространство Гильберта. В гл. V мы видели, что векторы, способные представлять динамические состояния, действительно должны иметь конечную норму, но что рассмотрение проблемы непрерывного спектра в задачах на собственные значения требует введения собственных векторов с бесконечной нормой. Поэтому мы, должны ввести в наше пространство 
также и векторы 
с бесконечной нормой, зависящие от одного (по крайней мере) непрерывного индекса, и распространить на эту категорию векторов понятие скалярного произведения.
Мы принимаем, что 
имеет конечное скалярное произведение 
со всяким вектором 
с конечной нормой и что это скалярное произведение линейно по отношению к 
и антилинейно по отношению к 
Аналогично определяется скалярное произведение 
причем принимается, что
В противоположность этому скалярное произведение двух векторов типа 
может и не сходиться. В частности, норма 
расходится. Но мы предположим, что собственный дифференциал
обладает положительно определенной нормой, которая стремится к конечному пределу, когда 
Строго говоря, вектор
не входит в пространство 
но его собственные дифференциалы или, в более общем случае, линейные комбинации типа (2) принадлежат этому пространству и удовлетворяют всем требованиям, характеризующим векторы пространства Гильберта.
