§ 4. Волновой пакет в медленно меняющемся поле

Предшествующие результаты и, в частности, соотношения (5) справедливы и в случае, когда частицы движутся в медленно меняющемся поле, причем условие классического приближения сводится к требованию, чтобы изменения поля на расстояниях порядка длины волны частицы были пренебрежимо малы.

Законы распространения соответствуют законам геометрической оптики. В частности, пакет волн ограниченных размеров, аналогичный тем, которые рассматривались в предыдущем параграфе, следует вдоль луча со скоростью, равной групповой скорости пакета. Чтобы можно было отождествить движения волнового пакета и классической частицы, необходимо:

а) чтобы лучи, соответствующие (круговой) частоте были идентичны классическим траекториям частоты с энергией

б) чтобы групповая скорость вдоль каждого луча была равна скорости соответствующей классической частицы.

Траектории классической частицы определяются принципом наименьшего действия (1.12); если рассматривать траектории с заданной энергией Е, то функция Лагранжа, согласно уравнению (1.13), есть и принцип записывается в виде

Следовательно интеграл вычисляемый вдоль некоторой кривой, соединяющей точки имеет экстремальное значение, когда эта кривая есть траектория истинного движения частицы от Импульс вообще говоря, есть функция положения частицы и ее скорости т. е. функция точки положения на кривой и направления касательной к кривой в этой точке. В случае нерелятивистской частицы в области действия скалярного потенциала

причем импульсы и скорости параллельны Но принцип наименьшего действия имеет силу и в более общих случаях, например, для частицы, движущейся в магнитном поле.

При заданной частоте со лучи в геометрической оптике определяются другим вариационным принципом, принципом Ферма,

который может быть выражен в следующей форме:

где есть волновой вектор. Интеграл вычисленный вдоль данной кривой, соединяющей точки называется оптической длиной пути вдоль этой кривой. Принцип Ферма утверждает, что луч, соединяющий есть кривая, вдоль которой оптическая длина пути экстремальна. В общем случае волновой вектор (перпендикулярный поверхностям равной фазы) зависит от положения на кривой и от направления касательной к кривой. В изотропной среде, когда фазовая скорость не зависит от направления, вектор направлен по касательной к кривой, а его абсолютная величина зависит только от положения на кривой и не зависит от направления распространения. Однако принцип Ферма применяется и в случае неизотропных сред.

Нетрудно видеть, что оба вариационных принципа совершенно аналогичны по форме. Чтобы лучи, соответствующие частоте , можно было сопоставить классическим траекториям с энергией Е (условие а)), достаточно, чтобы были пропорциональны

Константа пропорциональности а может быть найдена из условия б). Групповая скорость представляет собой градиент частоты ; следовательно

Что касается скорости частицы, то она дается формулой Эти две скорости равны, если

Таким образом, мы вновь получаем соотношения (5).

В случае нерелятивистской частицы в медленно меняющемся поле скалярного потенциала волна распространяется в изотропной среде, и длина волны (см. уравнение (6)) дается выражением