§ 19. Представление векторов и операторов матрицами

Рассмотрим векторное пространство и выберем в этом пространстве полную ортонормированную систему векторов; эта система может, вообще говоря, состоять из собственных векторов полного набора коммутирующих наблюдаемых. Для краткости будем использовать в рассуждениях базисную систему с дискретным индексом . Предположим, например, что мы имеем дело с собственными векторами некоторой наблюдаемой

Будем говорить, что это базисные векторы в представлении

Эти векторы образуют полную ортонормированную систему:

Уравнения (73) и (74) являются основными уравнениями представления

Для всякого кет-вектора имеем

Величины можно рассматривать как элементы матрицы с одним столбцом, причем есть индекс, нумерующий строки. Задание этого правого вектора полностью определяет кет-вектор это матрица, представляющая в представлении

Для всякого бра-вектора имеем

Величины являются комплексно сопряженными по отношению к компонентам правого вектора, представляющего кет-вектор в представлении Они могут рассматриваться также как компоненты левого вектора; задание этого левого вектора полностью определяет бра-вектор это вектор, представляющий в представлении Таким образом, бра-вектор, сопряженный данному кет-вектору, представляется вектором, эрмитово сопряженным вектору, представляющему кет-вектор.

Всякий линейный оператор А может быть единственным образом представлен в виде двойного ряда по базисным операторам

Коэффициенты разложения полностью определяют А и могут рассматриваться как элементы квадратной матрицы, причем есть индекс строки, индекс столбца: это матрица, представляющая оператор А в представлении

Установив таким образом взаимооднозначное соответствие между векторами и операторами, с одной стороны, и матрицами - с другой стороны, выясним теперь, каким образом каждая операция с операторами и векторами в пространстве переводится на язык представляющих их матриц.

Соотношениям сопряжения между векторами и операторами соответствуют соотношения эрмитового сопряжения между

матрицами. Мы это уже отмечали на примере сопряжения между бра- и кет-векторами. Подобно этому матрицы, представляющие два эрмитово сопряженных оператора А и сами эрмитово сопряжены: их элементы удовлетворяют соотношениям

Что же касается различных алгебраических операций с векторами и операторами, то им соответствуют различные операции матричной алгебры. Чтобы убедиться в этом, следует рассмотреть каждую из элементарных операций, упомянутых в двух предшествующих параграфах.

Наиболее просто дело обстоит в случае умножения на постоянную и операции суммирования; так, всякой линейной комбинации Двух операторов соответствует та же линейная комбинация двух представляющих матриц:

Различные произведения векторов и операторов представляются произведениями соответствующих матриц. Именно:

а) скалярное произведение на

таким образом, равно произведению (справа) матрицы (правого вектора), представляющей на матрицу, эрмитово сопряженную матрице, представляющей

б) действие оператора А на кет-вектор или бра-вектор

Матрица (правый вектор), представляющая есть произведение (справа) матрицы, представляющей на матрицу, представляющую А. Матрица (левый вектор), представляющая , есть произведение (слева) матрицы, представляющей на матрицу, представляющую А;

в) произведение

матрица, представляющая выражается в виде произведения (справа) матрицы, представляющей В, на матрицу, представ ляющую А;

г) оператор элемент матрицы, представляющей этот оператор, есть искомая матрица, следовательно, получается при умножении (справа) матрицы (левый вектор), представляющей на матрицу (правый вектор), лредставляющую дает квадратную матрицу).

Таким образом, определено представление векторов и операторов из пространства матрицами, причем установлены простые правила соответствия между различными действиями с векторами и операторами и действиями с матрицами. Любую геометрическую задачу в пространстве можно решать либо чисто геометрическими методами, рассматривая векторы и операторы, о которых идет речь, либо методами алгебры и анализа, оперируя с матрицами в подходящем представлении.

В последнем случае соответствующий выбор представления может привести к упрощению задачи, подобно тому как подходящий выбор системы координат позволяет упростить решение задачи в аналитической геометрии. На практике следует выбирать представление, в котором данные векторы и операторы представляются матрицами наиболее простой формы.

Заметим в этой связи, что в представлении наиболее простой вид имеет наблюдаемая она представляется диагональной матрицей. Вообще всякая функция в этом представлении выражается диагональной матрицей

Операторы, коммутирующие с также представляются простыми матрицами. Действительно, если то

и поэтому для всякой пары индексов таких, что Иными словами, все элементы матрицы, индекс строки и индекс столбца которых относятся к различным собственным значениям равны нулю (ср. § 15).

Все результаты без труда распространяются на всякое пространство получающееся путем тензорного умножения пространств и Векторы и операторы, образованные тензорным умножением, могут быть представлены матрицами, которые являются тензорными произведениями матриц, представляющих векторы и операторы пространств и