§ 14. Замечание по поводу четности
Возвратимся к понятию четности, которое нам встретилось первый раз при рассмотрении примера с бесконечно глубокой потенциальной ямой. Это свойство имеет самый общий характер.
Если потенциал 
четный, т. е. если
то гамильтониан уравнения Шредингера также инвариантен относительно замены х на 
он симметричен относительно начала координат. Поэтому если 
есть собственная функция, принадлежащая собственному значению Е,
то уравнение не меняется при замене х на -х, т. е.
Следовательно, 
а также четная функции 
и нечетная функция 
являются собственными функциями одного собственного значения Е. По крайней мере одна из двух последних функций не равна тождественно нулю. Возможны два случая:
1. Собственное значение Е не вырождено. Четыре упомянутые функции равны друг другу с точностью до постоянных множителей. Функция 
пропорциональна той из функций 
которая не равна тождественно нулю (другая необходимо есть тождественный нуль). Таким образом, собственные функции невырожденной части спектра имеют определенную четность: одни четные, другие нечетные. Кроме того, четная функция обязательно имеет четное число узлов, а нечетная функция — нечетное число узлов. Следовательно, если располагать собственные функции по порядку возрастающих собственных энергий, то четные и нечетные функции чередуются, причем функция основного состояния всегда четная. Результаты § 5 подтверждают эти выводы.
2. Собственное значение Е вырождено. В этом случае все функции могут быть представлены в виде 
где 
две линейно независимые собственные функции. Предположим, что хотя бы одна из этих функций, например 
не имеет определенной четности; в этих условиях ни одна из функций 
не обращается тождественно в нуль. Эти две функции противоположной четности обязательно линейно независимы и, как мы видели, являются собственными функциями одного собственного значения Е. Поэтому можно выразить 
, следовательно, 
в виде линейной комбинации 
Таким образом, всегда можно выразить собственные функции вырожденного собственного значения в виде линейной комбинации двух функций, имеющих определенную четность.
Можно, впрочем, убедиться в результате простого исследования, что собственные значения непрерывного спектра все двукратно вырождены и каждому из них соответствует одна собственная функция четная (производная функции равна нулю в начале координат) и одна функция нечетная (функция равна нулю в начале координат).
В квантовой механике часто случается, что гамильтониан исследуемой системы оказывается инвариантным относительно некоторых преобразований; из этого свойства инвариантности следуют некоторые свойства симметрии, характеризующие собственные функции уравнения Шредингера. Четность дает нам простой пример такой ситуации.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
(см. скан)
