§ 14. Функции наблюдаемых

Линейный оператор полностью определен, если известно его действие на векторы, составляющие полную ортонормированную систему собственных векторов; тогда его действие на любую линейную суперпозицию этих векторов получается непосредственно, если, конечно, выполняется условие сходимости в случае бесконечного ряда (условия сходимости уже рассматривались в гл. V). В частности, всякая функция собственных значений наблюдаемой А позволяет определить линейный оператор как функцию этой наблюдаемой. Действие на собственный вектор оператора А, принадлежащий значению а, по определению, есть

Когда функция выражается полиномом, это определение получается непосредственным применением правил алгебры операторов, но оно справедливо и в более общих случаях.

Из самого определения следует, что всякий собственный вектор А является собственным вектором Обратно, если всякий собственный вектор наблюдаемой А есть также собственный вектор линейного оператора то этот оператор есть операторная функция А.

Это вполне очевидно, если все собственные значения оператора А невырождены. Поэтому рассмотрим некоторое вырожденное собственное значение и пусть суть два линейно независимых собственных вектора, принадлежащих этому собственному значению. По предположению они являются также собственными векторами

Всякая линейная комбинация данных двух векторов также является собственным вектором

следовательно,

и поскольку линейно независимы,

Таким образом, все собственные функции А, принадлежащие одному собственному значению а, являются собственными функциями принадлежащими одному собственному значению последнее есть некоторая функция а, т. е. следовательно, действительно

Всякая функция наблюдаемой Л может быть выражена, как и сама наблюдаемая Л, в форме линейной комбинации элементарных или дифференциальных проекторов. Предположим для определенности, что Л удовлетворяет уравнению (57). Тогда

В качестве примеров функций наблюдаемой Л укажем проектор на подпространство некоторого собственного значения, проектор на пространство, натянутое на собственные вектора, принадлежащие собственным значениям, лежащим в некоторой области и т. п. Укажем также экспоненциальный оператор — заданная постоянная) и обратный оператор Функция определена всегда, обратный оператор определен только, если среди собственных значений оператора А нет нулевого.