§ 10. Соотношение неопределенности время-энергия

Существование соотношений неопределенности координата-импульс связано с тем, что импульс с точностью до постоянного множителя определяется как характеристическое волновое число плоской волны, а плоская волна, строго говоря, заполняет все пространство; попытка локализовать импульс частицы в некоторой определенной точке пространства столь же безуспешна, как попытка локализовать плоскую волну.

Но подобно тому, как импульс, будучи пропорционален волновому числу, не может быть локализован в пространстве, так и энергия, пропорциональная частоте, не может быть локализована во времени. Поэтому в соответствии с требованиями принципа относительности существует соотношение неопределенности

время-энергия, аналогичное соотношениям неопределенности координата-импульс, а именно

Однако физическая интерпретация этого соотношения иная. В соотношениях неопределенности координата-импульс переменные положения и импульса входят симметричным образом: как те, так и другие могут быть подвергнуты измерению в данный момент времени Статистические распределения результатов измерения, а следовательно, и неопределенности определяются значением волновой функции системы в данный момент времени. В противоположность этому энергия и время в соотношении (33) играют совершенно разные роли: энергия Е есть динамическая переменная системы, а время есть параметр. Соотношение (33) связывает неопределенность значения, принимаемого этой динамической переменной с интервалом времени характеристическим для временной эволюции системы.

Начнем обсуждение этого вопроса с исследования поведения свободной частицы. Плоская монохроматическая волна представляет частицу со строго заданным импульсом и энергией . С помощью суперпозиции волн можно получить волновой пакет типа, представленного в уравнении (11.11). Для упрощения рассуждений рассмотрим волновой пакет в одном измерении и вообразим себе некоторый волн, подобный прямоугольному сигналу, изображенному на рис. 17. Пусть обозначает его длину, а у — групповую скорость. Пакет пере мещается со скоростью вдоль оси х, однако момент прохождения таким пакетом заданной точки на оси х не может быть указан точно: неопределенность в определении этого момента оказывается порядка Кроме того, мы видели, что указанный волновой пакет характеризуется также размазанностью в пространстве импульсов, отчего возникает неопределенность в значении энергии частицы

Из этих двух приближенных равенств находим, что

и, применяя соотношение неопределенности координата-импульс, получаем неравенство (33), которое ограничивает снизу величину произведения ширины энергетического спектра частицы и неточности измерения момента прохождения частицей некоторой точки на оси.

Подобный подход легко распространяется на случай волнового пакета в медленно меняющемся поле, но оказывается несостоятельным в более общих случаях. Чтобы получить соотношение типа (33), надо, вообще говоря, учитывать временную зависимость волновой функции.

Наиболее простым является случай системы, обладающей вполне определенным значением энергии. Мы знаем (см. гл. II, § 16), что волновая функция квантовой системы с заданной энергией имеет характерную зависимость от времени рассмотрим в качестве примера частицу, помещенную в некоторое силовое поле. Если квантовое состояние характеризуется определенным значением энергии то волновая функция запишется в виде Отсюда следует, что распределение положений этой частицы не зависит от времени. Легко видеть, что распределение по импульсам также Ъбладает этим свойством. Следовательно, результат измерения положения или импульса не зависит от момента времени, когда производится измерение. Коротко это выражают, говоря, что физические свойства системы не зависят от времени или, что система находится в стационарном состоянии.

Предположим теперь, что квантовое состояние частицы есть суперпозиция двух стационарных состояний с энергиями . Волновая функция имеет вид

а распределение

осциллирует между двумя крайними значениями с периодом Распределение по импульсам имеет то же свойство.

Таким образом, время является характеристическим для эволюции физических свойств системы. Результаты измерений, точнее статистическое распределение результатов измерений, проведенных в два различных момента времени будут практически одинаковыми, если разность мала по сравнению с . Иными словами, чтобы свойства системы заметно изменились за интервал времени необходимо, чтобы произведение и неопределенности в значении энергии — было по крайней мере равно величине порядка Выраженный в такой форме этот результат остается сцраведливым, когда состояние системы есть произвольная суперпозиция произвольного числа стационарных состояний.

Следовательно, он имеет общее значение. Строгое доказательство будет дано позднее (§ VIII. 13).

Важным приложением соотношения (33) является соотношение среднее время жизни — ширина для радиоактивных и возбужденных систем (радиоактивные ядра, возбужденные состояния атомов, нестабильные элементарные частицы и т. д.). Такие системы не являются стационарными и не обладают определенным значением энергии; они характеризуются спектром энергий с некоторой шириной Среднее время жизни играет здесь роль характеристического интервала времени, рассмотренного выше. Чтобы заметить существенные изменения физических свойств системы, необходимо ждать указанный промежуток времени. Поэтому

Другое следствие неравенства (33) относится к измерению энергии как таковому. Точность измерения энергии связана со временем необходимым для измерения, соотношением (33). Так, можно измерять, например, энергию возбуждения первого возбужденного уровня атома водорода, бомбардируя атомы водорода пучком моноэнергетических электронов и измеряя энергию, теряемую электронами при соответствующих неупругих столкновениях. Время измерения здесь по крайней мере равно времени столкновения, т. е. времени А прохождения пакета волн, представляющего электрон, через область нахождения атома водорода; ошибка измерения по крайней мере равна неопределенности в энергии электронов падающего пучка; легко видеть, что