§ 9. Граничные точки и формулы согласования

Обычно при использовании приближения ВКБ условие (47) выполняется повсюду кроме малых окрестностей точек Это так называемые граничные точки классического движения, где скорость движения частицы обращается в нуль и меняет знак (точки поворота).

С математической точки зрения приближение ВКБ сводится к замене уравнения Шредингера

уравнением

(как в области так и в области где . Действительно, нетрудно проверить, что выражения (42) и (44) представляют собой общие решения именно уравнения (48). Оно имеет особенность типа в тех точках, где длина волны становится бесконечно большой, т. е. в каждой из граничных точек. В окрестностях таких точек замена уравнения Шредингера на уравнение (48) очевидно неоправдана. Чтобы получить полное решение, вообще говоря, следует решить уравнение Шредингера в малых областях вблизи граничных точек и сшить эти решения с решениями (42) и (44), которые представляют волновую функцию в областях, где справедливо приближение

На практике, однак», нет большой необходимости знать истинную форму решения в окрестности граничной точки, если мы умеем сшивать решения ВКБ по обе стороны окрестности. Проблема сшивания решений математически довольно трудна, подробна она рассматривается в указанной статье Лангера; метод, предложенный Лангером, основан на замене уравнения Шредингера не уравнением (48), а другим уравнением (не имеющим особенностей в граничных точках), которое асимптотически переходит в уравнение (48) по обе стороны точки поворота. Ограничимся тем, что укажем формулы согласования между решениями ВКБ экспоненциального и осцилляторного типов.

Предположим ради определенности, что при при (барьер слева). Общее решение является линейной комбинацией двух решений асимптотические

формы которых даются выражениями:

Условимся определять «число длин волн», содержащихся в заданном интервале интегралом или соответственно справа и слева от граничной точки.

Условия справедливости формул согласования таковы:

1) В граничной точке кинетическая энергия стремится к нулю как и остается в хорошем приближении пропорциональной х — а в области, простирающейся на одну, а еще лучше — на несколько «длин волн» по обе стороны точки поворота.

2) Каждая из «граничных областей» сшивается с «асимптотическими областями», простирающимися на много «длин волн», в которых выполняется приближьние

При использовании формул (49) и (50) требуется известная осторожность. Дело в том, что решение как таковое в области а имеет асимптотическую форму так как «экспоненциально растущий» член всегда превосходит «экспоненциально убывающий», каким бы малым по сравнению с В ни был коэффициент А, если только он не равен тождественно нулю. Поэтому задание асимптотической формы будет иметь смысл, только если она действительно «экспоненциально убывающая» (тип ); если коэффициенты А и В известны только приближенно и , то никакое даже приближенное определение асимптотической формы решения становится невозможным.

Предположим, что мы знаем решение ВКБ в асимптотической области и желаем найти то осцилляторное

решение, с которым оно сшивается. Это можно сделать только если указанное асимптотическое решение экспоненциально затухает при т. е. имеет форму

тогда в окрестности граничной точки решение, очевидно, будет иметь вид а его поведение в области х а будет выражаться формулой (50). Результат можно записать в форме

причем стрелка указывает направление согласования.

Предположим, напротив, что мы задаемся решением ВКБ в «осцилляторной области» Оно должно иметь форму (42), что можно записать в виде

( — комплексные постоянные). Согласно формулам (49) — (50) это есть асимптотическая форма решения с коэффициентами

Следует учитывать, что постоянные указанной асимптотической формой определяются только приближенно. По этой причине, если любое определение асимптотической формы данного решения в области становится невозможным; в противном случае она дается формулой (49). Результат запишем в виде

стрелка здесь также указывает направление согласования.

В случае барьера справа, т. е. если при при формулы согласования (51) и (52) остаются в силе, если в интегралах и неравенствах переставить х и а; Направление стрелок сохраняется.