Раздел I. ЭРМИТОВЫ ОПЕРАТОРЫ И ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Всякий раз, когда нам потребуется пример для иллюстрации излагаемых положений, мы будем обращаться к примерам квантовых систем в одном измерении (см. гл. III) или в трех измерениях (системы, содержащие одну частицу). Следует однако помнить, что все результаты справедливы и в общем случае квантовых систем с любым числом измерений.

§ 2. Пространство волновых функций

Волновые функции, представляющие состояние квантовой системы, принадлежат функциональному пространству, которое следует точно определить. Для того, чтобы вероятностные

распределения введенные в § IV. 2, имели смысл, необходимо и достаточно, чтобы волновая функция удовлетворяла условию нормировки (IV. 3). Это приводит нас к следующему определению пространства волновых функций:

волновые функции, рассматриваемые в волновой механике, являются квадратично интегрируемыми функциями в конфигурационном пространстве, т. е. функциями вида такими, что интеграл сходится (здесь dx обозначает элемент объема конфигурационного пространства: ).

Можно было бы еще более ограничить функциональное пространство, требуя выполнения условия нормировки на единицу (IV. 3). Однако удобнее отказаться от этого ограничения. Как мы увидим ниже, это можно сделать, несколько модифицируя определения статистических распределений и вероятностей.

На языке математики определенное нами функциональное пространство называется пространством Гильберта. Действительно, оно обладает всеми свойствами, характеризующими пространство Гильберта. Перечислим эти свойства.

Во-первых, это линейное пространство. Если квадратично интегрируемые функции, то их сумма, произведение каждой на комплексное число и вообще любые линейные комбинации вида , где — произвольные заданные комплексные числа, также являются квадратично интегрируемыми функциями.

Во-вторых, в этом пространстве можно определить скалярное произведение. По определению скалярное произведение функции на функцию выражается формулой

Если скалярное произведение равно нулю, говорят, что функции ортогональны. Норма функции есть скалярное произведение функции саму на себя

Основные свойства скалярного произведения таковы:

а) скалярное произведение на есть величина, комплексно сопряженная скалярному произведению на именно

б) скалярное произведение на линейно по иными словами

в) норма функции есть неотрицательное вещественное число

и если

Все эти свойства становятся очевидными, если обратиться к самому определению скалярного произведения. Пользуясь свойствами а) и б), легко видеть, что зависимость скалярного лроизведения от функции не линейна, но «антили-нейна»:

Из свойств а), б) и в) следует очень важное свойство скалярного произведения, а именно неравенство Шварца (см. задачу 1)

Знак равенства в формуле (5) имет место в том и только в том случае, когда функции пропорциональны друг другу. Неравенство Шварца очевидно, обеспечивает сходимость интеграла (1), если функции являются квадратично интегрируемыми.

Помимо свойства линейности и возможности определения скалярного произведения пространство квадратично интегрируемых функций обладает еще свойством полноты, именно это обстоятельство позволяет отождествить его с пространством Гильберта. Свойство полноты означает, что всякая последовательность квадратично интегрируемых функций, удовлетворяющая критерию Коши, сходится (в смысле среднего квадратичного) к квадратично интегрируемой функции. Обратно, всякая квадратично интегрируемая функция может рассматриваться как предел (в смысле среднего квадратичного) последовательности квадратично интегрируемых функций, сходящейся в смысле Коши (сепарабельность).