Раздел II. РАССЕЯНИЕ ЦЕНТРАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ. ФАЗОВЫЕ СДВИГИ

§ 8. Разложение по парциальным волнам. Метод фазовых сдвигов

Рассмотрим рассеяние частицы центрально-симметричным потенциалом Для вычисления эффективного сечения необходимо найти асимптотическую форму стационарной волны рассеяния . С этой целью будем решать уравнение Шредингера в сферических координатах.

Направление начального волнового вектора к в данном случае является осью вращательной симметрии задачи. Если выбрать это направление в качестве полярной оси, то волна и амплитуда рассеяния не будут зависеть от угла Разложим эти величины в ряды по полиномам Лежандра:

Введем следующие обозначения:

Тогда есть регулярное решение радиального уравнения

с асимптотическим поведением

Фазовые сдвиги определяются единственным образом по радиальному уравнению. Постоянная должна быть выбрана так, чтобы функция имела надлежащую асимптотическую форму. Пользуясь разложениями (IX. 35) и (28), можно

выразить асимптотическую форму в виде ряда по полиномам Лежандра:

Если учесть также асимптотическое выражение для , то можно переписать этот ряд, разделяя сходящиеся и расходящиеся волны, в форме

В асимптотической области функция должна быть равна выражению в квадратных скобках в правой части этой формулы. Это условие фиксирует однозначно и позволяет выразить как функцию фазовых сдвигов. Последовательно имеем

Подставляя последнее соотношение в (28), находим искомое выражение

здесь - начальная длина волны

Полезно сравнить асимптотическую форму т. е. коэффициента разложения по полиномам Лежандра функции соответствующего моменту импульса с соответствующим коэффициентом разложения плоской волны а именно

Обе эти функции, как видим, являются суперпозициями сходящейся и расходящейся волн равной интенсивности. Сходящиеся волны, очевидно, одинаковы для обеих функций. Однако член расходящейся волны в стационарном состоянии рассеяния отличается от соответствующего члена в плоской волне фазовым множителем влияние рассеивающего потенциала сводится к сдвигу фазы каждой парциальной расходящейся волны.

Дифференциальное эффективное сечение рассеяния получается как квадрат модуля функции

Интегрируя по углам получаем полное эффективное сечение. Учитывая соотношения ортогональности полиномов Лежандра, полное сечение можно выразить в виде ряда

каждый член которого

дает вклад в рассеяние парциальной волны с моментом импульса Отметим неравенство

Максимальное значение достигается при