§ 19. Приближение Борна

Для того чтобы точно вычислить фазовый сдвиг надо, вообще говоря, решить уравнение (29). Однако если достаточно мал, регулярное решение этого уравнения мало отличается от свободной сферической волны и фазовый сдвиг близок к нулю. Поэтому приближенно можно в уравнении (73) заменить на свободную волну, что дает

Это выражение для фазового сдвига в «приближении Борна».

Ошибка мала, если потенциал достаточно мал по сравнению с Е — в большей части области изменения

Можно ожидать поэтому, что приближение Борна будет оправдано при высоких энергиях или (при условии, что достаточно быстро уменьшается на бесконечности) при больших значениях . В действительности выражение (75) является только первым членом в разложении по степеням потенциала V, поэтому ошибку можно оценить, вычисляя следующие члены разложения. Исходя из соотношения (72), можно получить аналогичное приближенное выражение для , а именно

Эта «обобщенная формула Борна» полезна, когда известно регулярное решение радиального уравнения с потенциалом 9, мало отличающимся от потенциала V. Она позволяет получить в хорошем приближении не решая точно радиальное уравнение с потенциалом