§ 3. Свободный волновой пакет. Фазовая и групповая скорости

Рассмотрим волновое движение в однородной и изотропной среде. Наиболее простым типом волны является плоская монохроматическая волна

которая представляет колебание с длиной волны распространяющееся в направлении волнового вектора с постоянной скоростью. Скорость, о которой идет речь, есть скорость перемещения плоскости равной фазы, или фазовая скорость

Частота не зависит от направления но, вообще говоря, может зависеть от абсолютной величины этого вектора. Поскольку всякая волна может рассматриваться как суперпозиция плоских монохроматических волн, знания «закона дисперсии» достаточно для исследования поведения любой волны с течением времени.

Согласно нашей гипотезе каждая частота соответствует вполне определенной энергии частицы

Естественно поэтому сопоставить волну (1) прямолинейному равномерному движению с энергией Е в направлении

Изучение классического приближения позволит нам связать с импульсом частицы. Для этого следует сопоставить частице волну конечной протяженности. Волна (1), конечно, не удовлетворяет этому требованию, но ему можно удовлетворить, если воспользоваться суперпозицией волн с близкими волновыми векторами. Это значит, что следует рассмотреть волновой пакет

Обозначим буквами модуль и фазу амплитуды соответственно. По предположению А обладает заметной величиной только в некоторой области, окружающей Следует выяснить в какой мере и при каких условиях «движение» волнового пакета может быть сопоставлено движению классической частицы.

Ради простоты рассмотрим вначале волновой пакет в одном измерении

Положим

тогда есть интеграл от произведения функции А, имеющей резкий максимум в области шириной окружающей точку и осциллирующей функции Если осцилляции функции в области достаточно многочисленны, то вклады различных частей области аннулируют друг друга, так что величина оказывается крайне малой. Наибольшие абсолютные значения получаются в том случае, когда фаза остается почти постоянной в области , т. е. (символ означает производную по когда Следует потребовать, чтобы имела не более одной осцилляции в области

Поскольку

волна практически локализована в области с размерами

окружающей «центр волнового пакета», определенный условием т. е.

Эта точка равномерно движется со скоростью

которая называется групповой скоростью волны Именно эта скорость а не фазовая скорость должна быть отождествлена со скоростью частицы в классическом приближении предельной локализации пакета:

Из условия и соотношения (2) находим соотношение де Бройля

Это рассуждение без труда обобщается на волновой пакет в трех измерениях: центр пакета равномерно перемещается со скоростью

причем групповая скорость должна быть отождествлена со скоростью частицы

Последнее сотношение вместе с соотношением (2) позволяет найти связь между динамическими переменными частицы и величинами, характеризующими ассоциированную ей волну:

Эти соотношения идентичны соотношениям (1.4), полученным для случая фотона.

В заключение рассмотрим полученные результаты с точки зрения принципа относительности.

В нерелятивистском приближении энергия Е определяется только с точностью до некоторой постоянной; изменить начало отсчета энергии значит добавить к частоте некоторую постоянную частоту (уравнение (2)), т. е. умножить функцию на фазовый фактор Это не меняет предшествующих результатов, касающихся движения волнового пакета, и соотношений (5), которые из них вытекают.

Однако полученные результаты ни в коей мере не зависят от нерелятивистского приближения. Принцип относительности позволяет определить точную энергию и соответствующую ей частоту со. Энергия Е и импульс являются компонентами одного -вектора (принимаем ). То же самое можно сказать относительно частоты и волнового вектора Соотношения (5) удовлетворяют принципу относительности: они означают, что -векторы пропорциональны друг другу.