§ 7. Статистическое распределение результатов измерений величины, оператор которой обладает полной системой собственных функций с конечной нормой

Возможность представить всякую волновую функцию разложением типа (14) существенно облегчает изучение всех проблем, касающихся оператора А. Предположим, что оператор А обладает полной системой ортонормированных собственных функций (примером может служить гамильтониан гармонического осциллятора, рассмотренный далее в гл. XII). Выбор такой системы несомненно не является единственным, всегда можно изменить фазы функций или, например, заменить ортонормированные функции, принадлежащие одному собственному значению, ортонормированными линейными комбинациями этих функций. Однако результаты, которые будут получены ниже, не зависят от конкретного выбора системы.

A priori функция не обязана быть квадратично интегрируемой. Однако, согласно (14),

Этот ряд сходится (§ 6, свойства 1) и в том и только в том случае, если сходится ряд , и тогда сумма числового ряда равна норме Мы получаем критерий принадлежности пространству Гильберта.

Аналогичные выводы можно сделать относительно функции . В самом общем случае, исходя из функции и основываясь на разложении (14) при условии его сходимости, можно определить оператор как функцию оператора А. Его действие на функцию определяется равенством

Оператор вполне определен, если данный функциональный ряд сходится, т. е. определен для всех тех функций для которых сходится числовой ряд

Читатель легко проверит, что определенная таким образом функция не зависит от конкретного выбора системы

В частности, оператор , где некоторый заданный параметр, определен для всех функций, принадлежащих пространству

Гильберта. Действительно,

причем критерий сходимости функционального ряда сводится к сходимости числового ряда , что всегда имеет место, если принадлежит пространству Гильберта.

Теперь мы уже можем определить статистическое распределение величины для любого динамического состояния физической системы. Действительно, характеристическая функция этого распределения, знание которой позволяет полностью описать распределение, есть, по определению, среднее значение величины в этом состоянии. Воспользовавшись постулатом б) из § 3, мы определим это среднее значение выражением

(которое всегда имеет смысл, даже если среднее значение А не определено).

Пусть теперь есть волновая функция, представляющая рассматриваемое динамическое состояние. Пользуясь разложениями (14) и (18), а также выражением (17) для скалярного произведения, находим

где мы ввели обозначение

Полученное выражение для характеристической функции распределения приводит нас к заключению, что:

1. Величина может принимать только значения

т. е. собственные значения сопоставленного ей оператора.

2. Вероятность того, что примет значение есть Нетрудно установить, что (равенство Парсеваля) и что среднее значение дается выражением

при условии сходимости этого ряда и что в общем случае среднее значение функции если оно существует, выражается формулой

В частности, для того чтобы с достоверностью принимало какое-либо заданное значение, необходимо и достаточно, чтобы являлась собственной функцией, принадлежащей этому собственному значению, в согласии с выводами § 4.

Полученные результаты можно представить в форме, которая делает еще более наглядным тот факт, что они не зависят от выбора системы функций Действительно, функция определенная равенством

очевидно не зависит от этого выбора (см. задачу 4). Тогда разложение (14) может быть представлено в форме

Иначе говоря, можно (и это уже единственным образом) представить Р в виде суперпозиции собственных функций оператора А, принадлежащих различным собственным значениям. Тогда вероятность найти значение равна отношению норм