§ 5. Спектр энергии. Вырождение

Заменяя в равенстве (14) параметр его выражением (10), находим спектр энергии состояний с моментом импульса I:

причем радиальное квантовое число равно числу узлов радиальной части волновой функции. Спектр содержит бесконечное счетное множество уровней, так как число может принимать все целые значения от 0 до Когда уровни становятся все более близкими друг другу и в пределе стремятся к значению с которого начинается непрерывный спектр.

Это обстоятельство характерно для потенциалов с большим радиусом действия. Напротив, короткодействующие потенциалы, например, типа прямоугольной потенциальной ямы, приводят к конечному числу связанных состояний (а иногда и к полному отсутствию их). Можно показать в самом общем случае, что множество уровней энергии является Сесконечнцм счетным (с

точкой накопления если потенциал, будучи отрицательным, асимптотически стремится к нулю медленней функции

и это множество конечно или, может быть, пусто, если потенциал асимптотически стремится к нулю быстрее

Объединение спектров, относящихся к различным возможным значениям дает полный спектр атома водорода согласно теории Шредингера. Полный спектр, таким образом, образуется последовательностью чисел определенных уравнением (16), причем I и могут принимать все целые неотрицательные значения. Замечаем, что значения энергии зависят, в действительности, от суммы или, что то же самое, от «главного квантового числа»

Имеем

При каждом значении энергии , т. е. при каждом значении главного квантового числа момент импульса I может принимать все целые значения от 0 до Поэтому вырождение уровня имеет кратность

Подпространство собственных функций с числом измерений натянуто на функций, каждая из которых соответствует определенному состоянию момента импульса при этом «азимутальное квантовое число» I может принимать значений

а «магнитное квантовое число» — значений

По спектроскопической традиции различные собственные значения энергии обозначаются целым положительным числом и сопровождающей буквой указывающей на значение I в соответствии с принятым соглашением, о котором мы говорили в предшествующей главе; квантовое число указывающее на ориентацию системы, опускается. Так, основное состояние есть состояние Первое возбужденное состояние четырехкратно вырождено и включает одно состояние и три состояния второе возбужденное состояние девятикратно

вырождено и включает одно состояние три состояния и пять состояний и т. д. (рис. 36).

Этот спектр совпадает с тем, который предсказывала старая квантовая теория; мы уже указывали на замечательное совпадение этого результата с экспериментальными данными. Настоящая теория хорошо предсказывает расположение спектральных линий, но не может объяснить тонкую структуру спектра. Недостаток теории в том, что она нерелятивистская. Релятивистские эффекты в определении положения уровней оказываются порядка т. е. примерно релятивистские поправки должны быть порядка

Рис. 36. Спектр атома водорода.

С другой стороны, теория Шредингера не учитывает спин электрона, т. е. внутреннюю степень свободы электрона, не имеющую классического аналога — этот вопрос будет обсуждаться в гл. XIII (т. II). К анализу тон кой структуры спектра атома водорода мы вернемся в гл. XX (т. II) при изложении основ релятивистской квантовой механики электрона.