§ 4. Отсутствие флуктуаций и проблема собственных значений

Флуктуации искомого статистического распределения определяются величиной среднего квадратичного отклонения

(величина является динамической переменной того же рода, что и А, поэтому ее среднее значение дается постулатом б)). Когда отклонение равно нулю, флуктуации отсутствуют, и можно с определенностью утверждать, что принимает значение, равное

Выясним, какие требования на функцию накладывает условие Применяя определение (6) к средним значениям операторов А и можно привести условие к виду

Однако величина равна . Для доказательства достаточно применить свойство (8) эрмитового оператора к функциям Таким образом, имеем

Следовательно, мы находимся в ситуации, когда неравенств» Шварца сводится к равенству, поэтому функции про порциональны друг другу. Флуктуации статистического распределения обращаются в нуль для динамических состояний таких, что

где а — некоторая постоянная.

Уравнение (9) есть уравнение задачи на собственные значения для оператора Л. Примером такого уравнения является уже рассмотренное нами уравнение Шредингера, не зависящее от времени. Таким образом, мы приходим к заключению:

Физическая величина обладает с достоверностью (т. е.. с вероятностью, равной 1) определенным значением в том и только в том случае, когда динамическое состояние физической системы представляется функцией т. е. собственной функцией, эрмитового оператора, сопоставляемого и это значение есть собственное значение оператора, соответствующее данной собственной функции.

Сказанное справедливо, в частности, по отношению к энергии системы. Соответствующий оператор — гамильтониан Шредингера — действительно сопоставлялся энергии системы, когда мы рассматривали уравнение Шредингера, не зависящее от времени (гл. II, раздел III). Тогда мы приняли, что энергия системы принимает вполне определенное значение Е, когда

система находится в стационарном состоянии, а ее волновая функция есть собственная функция оператора , соответствующая собственному значению все это полностью согласуется с общими постулатами, введенными в этом параграфе.

Во всех рассуждениях, приведших нас к уравнению (9), предполагалось, что функции входящие в скалярные произведения, принадлежат пространству Гильберта. Само уравнение (9) предполагает, что неизвестная функция должна быть квадратично интегрируемой.

Однако при такой постановке задача на собственные значения вполне может и не иметь решений. Именно так обстоит дело в случае уже рассмотренных операторов Действительно, исследуем задачи на собственные значения для этих двух операторов в случае системы в одном измерении. Для оператора имеем

что возможно только если равна нулю всюду, кроме точки Не существует ни одного квадратично интегрируемого решения, удовлетворяющего такому условию; искомое решение должно было бы быть очень странной функцией, равной нулю всюду, кроме одной точки. Мы вернемся к этому вопросу в § 8. Для оператора — задача на собственные значения имеет вид

Она имеет единственное решение, определенное с точностью до постоянного множителя, каким бы ни было значение им является функция Это решение не является квадратично интегрируемым.

Мы видим, что для двух рассмотренных операторов указанная выше постановка задачи на собственные значения не имеет смысла. Чтобы получить достаточно общие результаты, следует рассматривать решения задачи на собственные значения (9), не являющиеся квадратично интегрируемыми. Ранее мы уже исследовали одно уравнение на собственные значения частного вида, а именно уравнение Шредингера для одномерных систем {см. гл. III), и можем основываться на результатах этого исследования. Спектр собственных значений гамильтониана Шредингера в общем случае состоит из двух частей: ряда дискретных собственных значений, собственные функции которых имеют конечную норму, и непрерывного спектра собственных значений, собственные функции которого ограничены во всем пространстве, но имеют бесконечную норму. Путем суперпозиции собственных функций непрерывного спектра, принадлежащих

соседним значениям энергии, можно построить квадратично интегрируемые функции, соответствующие энергии, которая, как это подсказывает интуиция, если и не имеет точного значения, то во всяком случае определяется со сколь угодно малой квадратичной ошибкой.

Уточним это утверждение, возвращаясь к обозначениям § III. 13. Исходя из собственной функции принадлежащей собственному значению непрерывного спектра оператора Н

мы строим «собственный дифференциал»

Это — квадратично интегрируемая функция, и вычисленные с ее помощью величины и имеют вполне определенный смысл. Пользуясь уравнениями (10) и (11), легко видеть, что

Следовательно, квадратичное отклонение при ведет себя как Оно может быть сделано сколь угодно малым. Этот результат может быть выражен следующим образом.

С помощью суперпозиции собственных функций (с бесконечной нормой), принадлежащих собственным значениям, лежащим в ограниченной области непрерывного спектра оператора А (если он существует), можно построить квадратично интегрируемые функции, причем квадратичное отклонение распределения значений А от среднего значения может быть сделано сколь угодно малым, если выбрать достаточно малыми размеры области.

Ясно, что задача на собственные значения, выражаемая уравнением (9), должна играть фундаментальную роль не только в области дискретного спектра, но также и в области непрерывного спектра, когда собственные функции уже не принадлежат пространству Гильберта. Займемся поэтому систематическим изучением этой задачи на собственные значения.