§ 4. Понятие потока

Свойство сохранения нормы легко интерпретировать, если ввести понятие потока. Правая часть уравнения (7) всегда может быть выражена в виде дивергенции некоторого вектора — вектора плотности потока вероятности или просто вектора потока. Ограничимся здесь случаем частицы, движущейся в поле скалярного потенциала (см. задачу 1). Определим поток в точке в момент времени выражением

Нетрудно проверить, что

Это позволяет переписать уравнение (7) в форме

Уравнение типа (11) часто встречается в гидродинамике. Это есть уравнение сохранения для жидкости с плотностью Р и потоком в среде без поглощения, без источников и стоков. Мы приходим, таким образом, к аналогии между движением квантовой частицы и классической жидкости. Масса жидкости, содержащаяся в заданном объеме , равна интегралу от плотности по этому объему. Из уравнения (11) вытекает тот общеизвестный факт, что производная по времени от массы жидкости, заключенной в , равна

т. е. потоку вектора через замкнутую поверхность S, ограничивающую объем. Полная масса жидкости во всем пространстве остается постоянной (сохранение нормы), так как поток через поверхность S стремится к нулю, когда объем У включает все пространство.

В определении сохраняется некоторая степень произвола: уравнение (11) остается справедливым, если к вектору прибавить любой вектор с равной нулю дивергенцией. Однако определение (9) имеет преимущество простоты. Кроме того, оно может быть получено по принципу соответствия из классического определения потока. Действительно, согласно принципу соответствия, оператор представляет величину , т. е. скорость частицы; величина соответствует произведению скорости на плотность, т. е. потоку. В частности, если есть плоская волна то действительно равно произведению плотности вероятности на скорость.

Свойство, выражаемое уравнением (11), есть нечто более глубокое, чем просто свойство сохранения нормы. Если функция является стационарным решением уравнения Шредингера

то свойство сохранения нормы либо тривиально, либо не имеет смысла. Оно тривиально в случае связанного состояния, оно не имеет смысла в случае состояния несвязанного, ибо во втором случае функция не является квадратично интегрируемой. Однако в обоих случаях уравнение (11) остается справедливым и, ввиду того, что плотность не зависит от времени, принимает форму

Это свойство собственной функции особенно важно, так как оно не зависит от конкретной формы потенциала входящего в гамильтониан Шредингера.