§ 5. Бесконечно глубокая потенциальная яма. Дискретный спектр

В качестве второго простого примера мы рассмотрим случай бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной ямы. Значение потенциала на дне ямы будем считать началом отсчета значений энергии. Эта область нулевого потенциала занимает некоторый участок оси с обеих сторон интервал ограничен бесконечно высокими потенциальными барьерами (рис. 9).

Рис. 9. Бесконечно глубокая прямоугольная потенциальная яма.

Задача о собственных значениях сводится к нахождению функции обращающейся в нуль в точках и удовлетворяющей в интервале уравнению Шредингера

Общее решение есть линейная комбинация -Решения, одновременно удовлетворяющие двум граничным условиям, существуют только при некоторых дискретных значениях а именно:

(решения, для которых . Каждому из этих значений ей соответствует одна и только одна собственная функция (вырождения нет), а именно:

Этот простой результат вызывает целый ряд общих замечаний. Во-первых, данный результат принципиально отличается от результата классической механики. В том же потенциале классическая частица может двигаться при любой положительной энергии. Это будет периодическое движение туда и обратно между двумя потенциальными стенками, находящимися на концах интервала . В квантовой механике движение

может иметь место только при некоторых определенных дискретных значениях энергии: энергия частицы, квантуется.

Второе замечание касается четности собственных функций. Функции четные, если нечетно (уравнение (16а)), и нечетные, если четно (уравнение (16б)). То обстоятельство, что собственные функции обладают определенной четностью, связано со свойствами потенциала, который является четной функцией относительно начала координат:

Проблема четности во всей полноте будет рассмотрена в § 14.

Последнее замечание относится к числу узлов собственных функций. По определению узлы суть точки, в которых функция обращается в нуль (за исключением нулей на концах интервала Число узлов монотонно растет с ростом собственного значения энергии, оно увеличивается на единицу при переходе от некоторого собственного значения к ближайшему последующему: собственная функция основного состояния не имеет узлов, собственная функция возбужденного состояния имеет узел и т. д. Полезно подчеркнуть аналогию с числом узлов стационарных состояний закрепленной на концах колеблющейся струны. Сходство здесь полное, так как математически обе задачи тождественны.