§ 5. Определение состояний и построение пространства
После определения наблюдаемых нашей квантовой системы и установления коммутационных соотношений необходимо точно определить различные возможные квантовые состояния, т. е. необходимо построить гильбертово пространство, в котором действуют наблюдаемые. Для этого достаточно задать систему базисных векторов пространства и установить действие наблюдаемых на эти векторы. Следует, конечно, убедиться, что все операторы, представляющие физические величины, действительно являются наблюдаемыми, удовлетворяющими коммутационным соотношениям.
Чтобы определить базисную систему векторов, из всей совокупности наблюдаемых выделяют полный набор коммутирующих наблюдаемых 
Одновременное измерение соответствующих динамических переменных дает максимально возможную информацию о состоянии системы, т. е. полностью определяет некоторое динамическое состояние системы. Следовательно, каждый набор собственных значений 
этих наблюдаемых определяет вектор в пространстве 
с точностью до постоянного множителя; произвольно фиксируя этот множитель, находим некоторый вектор 
Множество векторов 
получаемое при изменении каждого собственного значения 
на всем протяжении спектров 
образует полную ортогональную систему векторов в пространстве 
. Если же фиксировать подходящим образом нормировку векторов 
— нормировку на единицу для векторов с конечной нормой, нормировку с помощью 
-функции Дирака для векторов, соответствующих непрерывному спектру, — то мы получим полную ортонормированную систему в 
Таким образом, базисная система векторов в 
определяется при задании спектров наблюдаемых 
Действие базисных наблюдаемых 
на каждый из этих векторов оказывается автоматически определенным. Остается выяснить, как действуют на них другие наблюдаемые, способные представлять физические величины.
Рассмотрение одних только соотношений коммутации позволяет, вообще говоря:
а) убедиться в том, что набор 
составляет полный набор коммутирующих наблюдаемых;
б) определить структуру спектров этих наблюдаемых;
в) установить действие других наблюдаемых на векторы базисной системы.
Иначе говоря, знания алгебры наблюдаемых системы почти всегда достаточно для однозначного определения пространства 
в котором они действуют.
Остается еще убедиться во внутренней согласованности полученной схемы, т. е. проверить, что операторы, представляющие физические величины, действительно являются наблюдаемыми.
Заметим, что на этом этапе теория уже допускает экспериментальную проверку. Физические величины определяются в принципе с помощью точных операций измерения, так что спектры их значений могут быть проверены на опыте. Необходимо, чтобы теоретический спектр, т. е. спектр собственных значений наблюдаемой, сопоставленной каждой физической величине, совпадал с результатами эксперимента.
