§ 14. Изотропный осциллятор в двух измерениях

Рассмотрим систему в двух измерениях с гамильтонианом

Исследование предшествующего параграфа полностью применимо к этому частному случаю. Следующая таблица дает собственные значения (первый столбец), кратность вырождения (второй столбец) и последовательность общих собственных векторов и растягивающих соответствующие подпространства

(третий столбец):

Оператор «момента импульса» определенный формулой

является постоянной движения. Покажем, что N и образуют другой полный набор коммутирующих наблюдаемых. С этой целью введем операторы

Эти операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям, тождественным (66):

Операторы можно считать операторами уничтожения и рождения квантов типа (+), операторы операторами уничтожения и рождения квантов типа (—); согласно этой интерпретации операторы

представляют число квантов и число квантов соответственно. Поскольку соотношения коммутации (73) идентичны соотношениям (66) задача построения общих собственных векторов математически идентична задаче построения общих собственных векторов Следовательно, наблюдаемые каждая имеют спектр собственных значений из целых неотрицательных чисел

и эти две наблюдаемые образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых: каждой паре квантовых чисел соответствует единственный общий собственный вектор (с точностью до постоянного множителя),

Из соотношений (67) следует

Следовательно, вектор из таблицы (70) есть собственный вектор основного состояния Векторы

образуют полную ортонормированную последовательность общих собственных векторов

Однако если выразить N и через то можно показать, что

Ввиду того что наблюдаемые образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых, их сумма N и их разность также обладают этим свойством. Именно это мы и хотели показать.

Мы приходим к выводу, что обладаем другой полной ортонормированной последовательностью собственных векторов а именно Они удовлетворяют уравнениям на собственные значения:

Определим соотношения коммутации и Простое вычисление дает:

Отсюда следует, что при действии на собственный вектор оператора операторы увеличивают собственное значение на единицу, а уменьшают на единицу. Это можно истолковать разными способами. В квантовой теории заряженных полей, где поле представляется как последовательность изотропных осцилляторов в двух измерениях, выражает число положительных частиц, — число отрицательных частиц, — полный заряд (с точностью до постоянного множителя). Согласно этой интерпретации порождает положительный заряд, уничтожает отрицательный заряд, поэтому и тот и другой

операторы изменяют заряд на плюс единицу; изменяют заряд на минус единицу.

В теории колебаний кристаллов движения решетки также представляются набором изотропных двумерных осцилляторов; кванты колебаний решетки называются фононами. Представление с фононами типа 1 и 2 дает классификацию по стационарным волнам; представление с фононами типа соответствует бегущим волнам, «распространяющимся» в том или ином направлении. В задачах о рассеянии (нейтронов, рентгеновских лучей и т. д.) на кристаллической решетке представление с бегущими волнами приводит к более простым вычислениям.