§ 17. Квадратные матрицы

В этом параграфе мы дадим несколько определений и перечислим ряд свойств квадратных матриц.

В квадратной матрице А порядка N мы различаем N диагональных элементов и недиагональные элементы ). Шпур (или след) матрицы А есть сумма ее диагональных элементов:

Детерминант или определитель матрицы , есть детерминант, образованный таблицей ее элементов.

Единичная матрица I есть матрица, все диагональные элементы которой равны 1, а все недиагональные элементы равны нулю

Произведение единичной матрицы на постоянную есть, по определению, постоянная матрица. Диагональная матрица есть матрица, все недиагональные элементы которой равны нулю.

Квадратная матрица является вещественной, симметричной или эрмитовой, если она равна своей комплексно сопряженной, своей транспонированной или своей эрмитово сопряженной, соответственно.

Сумма и произведение двух матриц порядка N всегда определены — это также матрицы порядка Сумма ассоциативна и коммутативна. Произведение ассоциативно, дистрибутивно по отношению к сумме, но не обязательно коммутативно. Алгебра матриц порядка N есть некоммутативная алгебра.

Чтобы матрица порядка N коммутировала со всеми матрицами порядка N необходимо и достаточно, чтобы она была постоянной (пропорциональной единичной) (задача 4). В частности, единичная матрица такова, что

при любой матрице А.

Две диагональные матрицы всегда коммутируют. Чтобы матрица порядка N коммутировала со всеми диагональными матрицами порядка N необходимо и достаточно, чтобы она была диагональной (задача 4).

Шпур (или след) произведения ряда матриц инвариантен относительно циклической перестановки сомножителей

Детерминант произведения матриц равен произведению детерминантов этих матриц

Матрица В, по определению, является обратной к матрице А, если

Впрочем, если выполняется одно из этих равенств, то другое выполняется также. Обратную матрицу обычно обозначают символом

Чтобы данная матрица А имела обратную необходимо и достаточно, чтобы детерминант матрицы был отличен от нуля: . Если то матрица называется сингулярной. Нетрудно проверить, что

и что

Матрица О называется ортогональной, если транспонированная матрица О равна обратной

Матрица называется унитарной, если эрмитово сопряженная матрица равна обратной

Если мы умножим слева матрицу размерности N на правый -мерный вектор, то получим правый -мерный вектор. Если умножить справа матрицу размерности N на левый -мерный вектор, то получим левый -мерный вектор.

Особенно просто действие диагональной матрицы. Пусть

суть элементы такой матрицы, а — компоненты правого вектора и, тогда

Аналогично, если компоненты левого вектора то

Если матрица сингулярна, то существует по крайней мере один правый вектор и такой, что и обратно. Из этого факта вытекает важная теорема:

Пусть А и В две матрицы порядка Для того, чтобы существовал правый N-мерный вектор и, удовлетворяющий уравнению

необходимо и достаточно, чтобы постоянная X являлась решением уравнения

В частности, если А есть матрица порядка то для того, чтобы существовал правый вектор и, удовлетворяющий уравнению

необходимо и достаточно, чтобы постоянная X являлась решением уравнения

Это алгебраическое уравнение порядка, не превосходящего N называется секулярным уравнением.

Аналогичные результаты имеют место для левых векторов. Тензорное произведение двух матриц порядка есть матрица порядка . В частности, тензорное произведение единичных матриц также представляет собой единичную матрицу размерности

В качестве примера рассмотрим матрицы порядка 4, получающиеся в результате тензорного умножения матриц порядка 2 на матрицы порядка 2. В теории часто используются следующие матрицы второго порядка (матрицы Паули):

Всякая матрица второго порядка может быть представлена как линейная комбинация этих четырех эрмитовых матриц. Рассмотрим теперь матрицы Паули в другом двумерном пространстве:

Производя тензорное умножение матрицы типа на матрицу типа мы получим матрицу типа . Дадим явное выражение нескольких матриц типа

Полученные матрицы можно рассматривать как матрицы, принадлежащие одному из пространств, скажем пространству но тогда каждый элемент матрицы есть матрица из другого пространства: это выражено в средних частях равенств. Правые части равенства представляют матрицы в явном виде; если условиться отмечать строки (и столбцы) двумя индексами трта, причем первый относится к составляющим пространства а второй — к составляющим пространства то строки (и столбцы) располагаются в порядке: 11, 12, 21, 22.

Линейно комбинируя тензорные произведения матриц, получают квадратные матрицы с двойными индексами размерности Как показывает рассмотренный пример, можно считать их матрицами типа (1), элементы которых суть матрицы типа (2). Суммируя диагональные элементы такой матрицы, получаем матрицу типа (2) в обычном смысле; по определению это частичный шпур в пространстве (1) исходной матрицы:

Аналогично можно определить частичный шпур в пространстве (2). Очевидно, что

и если матрица А есть тензорное произведение то