§ 11. Сдвиги фаз при низких энергиях

Зная поведение сферических функций Бесселя при малых значениях аргумента (уравнение (Б.52)), можно из уравнений (42) — (43) найти поведение когда т. е. или при очень малых энергиях или при очень больших значениях момента импульса. Действительно, если , то

(эти выражения справедливы и при если .

Рассмотрим поведение эффективных сечений, когда энергия частицы стремится к нулю. При этом вещественная величина увеличивается до некоторого предельного значения . В общем случае , так что фазовый сдвиг стремится к нулю как Находим

Таким образом, амплитуда пропорциональная стремится к нулю как Следовательно, в пределе очень малых энергий эффективное сечение становится изотропным, так как все парциальные сечения о; стремятся к нулю как (уравнение (34)), кроме сечения -волны сто, которое стремится к некоторой постоянной, вообще говоря, отличной от нуля.

По определению длиной рассеяния называется величина

Длина рассеяния а получается при решении радиального уравнения, соответствующего нулевой энергии:

Это расстояние от начала координат до точки, в которой асимптота пересекает ось . В пределе очень малых энергий

Если окажется, что то при стремлении энергии к нулю амплитуда ведет себя как (кроме случая когда из следует ). Говорят, что имеется резонанс с нулевой энергией в состоянии I. Предшествующие выводы должны быть изменены следующим образом. Если это резонанс то а бесконечно и стремится к бесконечности как Если

это резонанс то имеет вид а эффективное сечение остается ограниченным, но не является изотропным. Если же резонанс имеет более высокий порядок, то он не влияет на общее поведение эффективных сечений в пределе малых энергий.