§ 4. Классический предел уравнения Шредингера

Разберем теперь вторую формулировку классического приближения, упомянутую во введении к этой главе.

Для определенности рассмотрим случай частицы, движущейся в поле потенциала Выделим модуль и фазу волновой функции:

Подставляя это выражение в уравнение Шредингера и приравнивая действительные и мнимые части, получаем два уравнения:

Эта система вещественных уравнений полностью эквивалентна уравнению Шредингера. Отметим, что уравнение (18) есть ни что иное, как уравнение непрерывности (IV. 11). Действительно, плотность вероятности и плотность потока (см. § IV. 2 и § IV. 4) выражаются формулами

а уравнение (18) умножением обеих частей на приводится к виду

В классическом приближении мы опускаем член, пропорциональный в правой части уравнения (17), что дает

Таким образом, получаем следующий результат:

В классическом приближении функция Т описывает «жидкость» из классических невзаимодействующих частиц массы (статистический ансамбль), подверженных действию потенциала плотность и плотность потока этой жидкости в каждой точке пространства в каждый момент времени соответственно равны плотности вероятности Р и плотности потока вероятности квантовой частицы в этой точке.

Действительно, поскольку верно уравнение непрерывности этой жидкости (уравнение (19)), достаточно показать, что поле скоростей

жидкости удовлетворяет классическим законам движения жидкости. Но, учитывая определение (21), можно переписать уравнение (20) в виде

Далее, записывая условие равенства нулю градиента левой части, получим

отсюда следует, что частицы жидкости подчиняются уравнению движения

что и требовалось доказать.

Важно подчеркнуть большую общность этого результата, так как он остается справедливым для систем с любым числом измерений. Плотность есть вполне определенная функция в конфигурационном пространстве; аналогично, есть вполне определенное векторное поле в этом пространстве. Читатель без труда повторит доказательство для общего случая.

Когда Т представляет стационарное состояние с энергией Е,

уравнения (17) и (18) сводятся к

В классическом приближении мы опускаем правую часть уравнения (22) и вновь приходим к доказанному выше результату. В этом случае описывает стационарное течение жидкости классических частиц.

Оптическая аналогия более наглядна, чем аналогия гидродинамическая, в особенности для стационарных решений. Поскольку скорости частиц пропорциональны градиенту траектории частиц ортогональны поверхностям равных фаз . В оптике последние являются волновыми поверхностями, а траектории частиц совпадают с оптическими лучами.

Классическое приближение таким образом совпадает с приближением геометрической оптики: здесь в качестве следствия уравнения Шредингера мы вновь получаем тот постулат, на котором была основана теория волн вещества.

Оптическая аналогия оказывается чрезвычайно полезной при проверке условий справедливости классического приближения. Пусть приведенная длина волны X является заданной функцией точки

Тогда уравнение (22) можно записать в форме

Классическое приближение требует, чтобы условие

выполнялось во всем пространстве; точнее говоря, области, в которых данное условие не выполняется, должны быть настолько малы, чтобы уравнение (22) можно было заменить приближенным уравнением

почти всюду. Последнее уравнение есть уравнение волновых поверхностей геометрической оптики.

Рис. 23. Семейство траекторий (с заданной энергией Е), связанных с волновой поверхностью в приближении геометрической оптики:

Если во всем пространстве, то X является постоянной, и частное решение уравнения (25) может быть записано в виде где — заданный вектор длины (семейство функций этого типа образует полный интеграл уравнения в частных производных первого порядка (25)). В этом случае волновые поверхности суть плоскости, перпендикулярные а лучи — прямые, параллельные . В общем случае, конечно, волновые поверхности и лучи криволинейны.

При заданной энергии Е уравнение волновой поверхности определяет одно и только одно решение уравнения (25). Его можно построить следующим образом. Поверхности сопоставляется двухпараметрическое семейство траекторий классической частицы, соответствующих энергии Е, которые ортогональны и всем другим волновым поверхностям (рис. 23). Чтобы найти значение на каждой из этих поверхностей, рассмотрим одну из траекторий Каждая точка на определяется криволинейной координатой начало отсчета совпадает с точкой пересечения

Согласно уравнению (25)

Таким образом, оказывается определенной во всем пространстве, но тогда и задание А на поверхности определяет функцию А во всем пространстве единственным образом. Уравнение (23) связывает только значения взятые вдоль одной траектории, оно может быть записано в виде:

Функции X и вполне определены вдоль рассматриваемой траектории, поэтому это уравнение однозначно определяет функцию при любых если задано значение на пересечении траектории и поверхности

Зная решения А и в классическом приближении, можно оценить возмущение, вносимое присутствием члена в точном уравнении (22). Это возмущение зависит не только от «оптических» свойств среды, в которой распространяется волна, но также и от формы рассматриваемого решения волнового уравнения.

Классическое приближение применимо, вообще говоря, еслн «поперечные» размеры волны всюду велики по сравнению с X и если

во всяком случае в тех областях пространства, где плотность существенно отлична от нуля.

Эти условия получаются путем следующих полуколичественных рассуждений. Как указывает оптическая аналогия, кривизна световых лучей, т. е. траекторий частиц, должна быть мала в масштабах длины волны. Но радиус кривизны связан со скоростью частиц и поперечной составляющей силы — соотношением

Необходимо поэтому, чтобы

Учитывая выражение для X как функции потенциала V, это условие можно записать так:

Таким образом, кривизна волновых поверхностей должна быть мала по сравнению с (кроме, может быть, некоторых ограниченных областей пространства вблизи фокальных поверхностей). Это в общем случае достигается если и траектории обладают тем же свойством при надлежащем выборе поверхности . Аналогичным образом относительное изменение А на каждой волновой поверхности должно быть пренебрежимо малым на расстояниях порядка X; иначе говоря, «поперечные размеры» волны должны быть большими

по сравнению с . Если эти условия выполнены, то функция вдоль траектории приближенно дается соотношением

что после небольшого вычисления дает

Чтобы это выражение было мало, нужно, чтобы были значительно меньше 1; практически второе условие выполнено всегда, когда выполнено первое, т. е. когда составляющая вдоль траектории