§ 11. Движение минимизирующего волнового пакета и классический предел

Рассмотрим волновой пакет в одном измерении:

Это минимизирующий волновой пакет (задача IV. 4): он представляет частицу, локализованную в конфигурационном пространстве около среднего положения среднеквадратичным отклонением и локализованную в пространстве импульсов около среднего значения со среднеквадратичным отклонением

Если движение частицы определяется гамильтонианом то можно показать (задача 6), что волновой пакет остается минимизирующим и осциллирует с частотой . Точнее говоря, статистическое распределение величины изменяется по закону

Следовательно, оно осциллирует, не деформируясь, причем центр распределения осуществляет гармоническое движение, предсказываемое классической теорией. Статистическое распределение ведет себя аналогичным образом.

В противоположность этому статистическое распределение наблюдаемой остается постоянным во времени. Вероятность найти систему в состоянии с энергией в каждый момент времени равна (задача 6):

где использовано обозначение

Закон распределения вероятностей позволяет найти среднее значение энергии

и среднее квадратичное отклонение

Рассматриваемый волновой пакет хорошо иллюстрирует соотношения неопределенности. Он выбран таким образом, что произведение неопределенностей постоянно равно своему минимальному значению

Что же касается соотношения время-энергия, то можно сравнить с промежутком времени характеризующим ритм эволюции статистического распределения Пусть есть время, необходимое для того, чтобы центр распределения сместился на ширину распределения . Поскольку скорость центра пакета равна имеем

Величина периодически проходит через минимум, когда достигает своего наибольшего значения . В этом случае имеем

Используя (48), получим

в согласии с соотношением (VIII. 47) неопределенности время-энергия.

Амплитуда А колебаний центра волнового пакета выражается классическим соотношением (38)

В пределе, когда эта амплитуда велика по сравнению с протяженностью пакета и в той мере, в какой можно пренебречь длинами порядка классический образ точечной частицы, осциллирующей по закону дает удовлетворительное описание явления. Этот предел является пределом достаточно больших квантовых чисел в согласии с общим принципом соответствия. Действительно, он реализуется при но число квантованных уровней энергии, дающих заметный вклад при образовании волнового пакета, по порядку величины равно отношению к расстоянию между уровнями, т. е.

Конечно, указанный классический образ предполагает также, что дисперсия по импульсам и дисперсия по энергии рассматриваются как пренебрежимо малые величины.

Что касается энергии, то с указанной выше точностью действительно

Поэтому мы можем приписать системе энергию соответствующей классической частицы.