§ 13. Соотношения ортогональности

Другое важнейшее следствие теоремы вронскиана можно получить, если в уравнении (27) устремить пределы интегрирования а и к соответственно.

Пусть суть две собственные функции, принадлежащие двум собственным значениям дискретного спектра. Обе они обращаются в нуль на бесконечности, вронскиан, составленный из них, — тоже и поскольку имеем

Если интеграл от произведения двух действительных функций, распространенный на все пространство, равен нулю, говорят, что эти две функции ортогональны. В более общем случае две комплексные функции действительного переменного

ортогональны, если

Таким образом, собственные функции дискретного спектра ортогональны. Ясно, что этот результат справедлив и в том случае, когда только одна из двух функций принадлежит дискретному спектру.

Переход к пределу в уравнении (27) оказывается более деликатным, когда обе функции принадлежат непрерывному спектру. В этом случае вронскиан бесконечно осциллирует по крайней мере на одном из пределов интегрирования, интеграл следовательно, обладает тем же свойством. Однако если заменить в интеграле хотя бы одну собственную функцию, например волновым пакетом, образованным из собственных функций, соответствующих малой области энергий в окрестности энергии то соотношение ортогональности оказывается справедливым при условии Действительно, запишем в форме , чтобы подчеркнуть, что это функция с энергией Образуем волновой пакет

Поскольку вронскиан линейно зависит от функции получаем, интегрируя обе части уравнения (27);

Смысл этого преобразования состоит в том, что стремится к нулю (как ) в тех асимптотических областях, где обнаруживает поведение осцилляторного типа. Поэтому, когда а и стремятся, соответственно, к левая часть уравнения стремится к нулю, так что сумма двух сходящихся интегралов в правой части равна нулю. Но в предельном случае

второй из этих интегралов пренебрежимо мал. Можно поэтому написать

Волновой пакет определенный уравнением (43), в котором есть очень малая величина, называется «собственным дифференциалом» функции Подразумевается, что в конце вычислений осуществляется переход к пределу

В заключение делаем вывод, что две собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны при условии, что когда обе собственные функции принадлежат непрерывному спектру, по крайней мере одна из них в соотношении ортогональности (уравнение (42)) должна быть заменена ее собственным дифференциалом.

Наше определение собственного дифференциала очень схематично. На практике это понятие никогда не используется. Мы увидим в дальнейшем, что существуют элегантные математические методы, позволяющие придать свойству ортогональности самый общий характер, не прибегая к понятию собственного дифференциала.