§ 10. Необходимость волнового уравнения и условия, которым оно должно удовлетворять

Мы видели, что интенсивность ассоциированной волны в данной точке в данный момент времени дает вероятность найти частицу в этой точке в этот момент времени. В квантовой механике мы постулируем, что волновая функция Т квантовой системы полностью определяет динамическое состояние системы, т. е. что все предсказания, которые могут быть сделаны относительно различных динамических свойств системы в данный момент времени следуют из значения функции Т в этот момент времени Основная задача теории может быть сформулирована так: зная волновую функцию в начальный момент времени определить ее значения в последующие моменты времени. Для этого необходимо знать уравнение распространения волны Т.

Вполне очевидно, что искомое уравнение не может быть получено путем какого-либо дедуктивного рассуждения. Как всякое уравнение математической физики оно должно быть постулировано; единственным оправданием того или иного выбора служит сравнение теоретических предсказаний, получаемых с помощью уравнения, с результатами эксперимента. Тем не менее выбор уравнения лимитируется a priori некоторыми условиями, вытекающими из требований, налагаемых на функцию Т:

А) Уравнение должно быть линейным и однородным-, тогда волна удовлетворяет принципу суперпозиции, характерному для волновых процессов в общем случае. Именно, если и являются решениями уравнения, то и всякая линейная комбинация этих функций есть решение того же уравнения.

Б) Уравнение должно быть дифференциальным уравнением первого порядка относительно времени, именно в этом случае знание Т в данный начальный момент времени оказывается достаточным для определения последующей эволюции Т, согласно гипотезе о том, что динамическое состояние физической системы полностью определяется заданием

С другой стороны, предсказания теории должны совпадать с предсказаниями классической механики в области справедливости последней. Другими словами, уравнение должно приводить к тем же законам движения волновых пакетов, что и теория де Бройля в приближении геометрической оптики. Это значит, что искомое уравнение должно обладать формальным сходством с некоторыми уравнениями классической механики (принцип соответствия),

Следуя этим указаниям, мы довольно просто придем к уравнению Шредингера. Но прежде нам следует ввести одно математическое понятие, которое окажется чрезвычайно полезным в дальнейшем: понятие оператора.