§ 8. Уравнение Бернулли
Рассмотрим уравнение вида
где
- непрерывные функции от х (или постоянные), а
противном случае получилось бы линейное уравнение). Это уравнение, называемое уравнением Бернулли, приводится к линейному следующим преобразованием.
Разделив все члены уравнения на
получим
Сделаем, далее, замену
Тогда
Подставляя эти значения в уравнение (2), будем иметь линейное уравнение
Найдя его общий интеграл и подставив вместо
выражение
получим общий интеграл уравнения Бернулли.
Пример. Решить уравнение
Решение. Разделив все члены на получим
Введем новую функцию
тогда
. Подставляя эти значения в уравнение (4), получим линейное уравнение
Найдем его общий интеграл:
Подставляем в уравнение (5) выражения
или
Приравниваем нулю выражение, стоящее в скобках:
Для определения и получаем уравнение
Разделяем переменные:
Интегрируя по частям, найдем
Следовательно, общий интеграл данного уравнения есть
Замечание. Аналогично тому, как это делалось для линейных уравнений, можно показать, что решение уравнения Бернулли можно искать в виде произведения двух функций:
где
- какая-либо функция, отличная от нуля и удовлетворяющая уравнению
.