§ 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Из определения четной и нечетной функции следует, что если - четная функция, то

Действительно,

так как по определению четной функции Аналогично можно доказать, чтя если - нечетная функция, то

Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция то произведение есть функция также нечетная, а

четная; следовательно,

т. е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы» (см. пример 1 § 2). Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение есть функция нечетная, а и, следовательно,

т. е. ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы» (см. пример 2 § 2).

Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при разыскании коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной. Очевидно, что не всякая периодическая функция является четной или нечетной (см. пример 5 § 2).

Пример. Пусть требуется разложить в ряд Фурье четную функцию которая имеет период и на отрезке задана равенством

Эту функцию мы уже разлагали в ряд Фурье в примере Вычислим снова коэффициенты Фурье этой функции, используя тот факт, что заданная функция является чётной.

В силу формул при любом

Мы получили те же коэффициенты, что и в примере 2 § 2, но более коротким путем.