§ 7. Нахождение матрицы, обратной данной

Пусть дана невырожденная матрица

Докажем, что обратной матрицей будет матрица

где — алгебраическое дополнение элемента (см. § 2). Найдем матрицу С, равную произведению матриц

Действительно, на основании правила умножения матриц диагональный член матрицы С равен сумме произведений элементов строки определителя А на соответствующие им алгебраические дополнения, деленной на определитель А, т. е. равен единице. Например, элемент определяется так:

Каждый недиагональный член равен сумме произведений элементов некоторой строки на алгебраические дополнения другой строки, деленной на определитель А; например, элемент определяется так:

Таким образом, теорема доказана.

Замечание. Матрица

называется матрицей, присоединенной к А. Обратная матрица через присоединенную А выражается так:

Справедливость этого равенства следует из равенства (3). Пример. Дана матрица

Найти обратную, матрицу и присоединеннуюматрицу Л.

Решение. Находим определитель матрицы

Находим алгебраические дополнения

Следовательно, по формуле (3)

По формуле (4) находим присоединенную матрицу