§ 7. Нахождение матрицы, обратной данной
Пусть дана невырожденная матрица
Докажем, что обратной матрицей
будет матрица
где
— алгебраическое дополнение элемента
(см. § 2). Найдем матрицу С, равную произведению матриц
Действительно, на основании правила умножения матриц диагональный член матрицы С равен сумме произведений элементов строки определителя А на соответствующие им алгебраические дополнения, деленной на определитель А, т. е. равен единице. Например, элемент
определяется так:
Каждый недиагональный член равен сумме произведений элементов некоторой строки на алгебраические дополнения другой строки, деленной на определитель А; например, элемент
определяется так:
Таким образом, теорема доказана.
Замечание. Матрица
называется матрицей, присоединенной к А. Обратная матрица
через присоединенную А выражается так:
Справедливость этого равенства следует из равенства (3). Пример. Дана матрица
Найти обратную, матрицу
и присоединеннуюматрицу Л.
Решение. Находим определитель матрицы
Находим алгебраические дополнения
Следовательно, по формуле (3)
По формуле (4) находим присоединенную матрицу