§ 7. Дифференцирование изображения
Теорема. Если 
то
Доказательство. Докажем сначала, что если 
удовлетворяет условию (1), то интеграл
существует.
По условию 
при этом 
Очевидно, что найдется такое 
что будет выполняться неравенство 
Так же, как и в § 1, доказывается, что существует интеграл
Оценим, далее, интеграл (22):
Так как функция 
ограничена и по абсолютной величине меньше некоторого числа N при любом значении 
то можно написать
Таким образом, доказано, что интеграл (22) существует. Но этот интеграл можно рассматривать как производную 
порядка по параметру 
от интеграла
Итак, из формулы
получаем формулу
Из этих двух неравенств получаем
т. е. формулу (21).
Используем формулу (22) для нахождения изображения степенной функции. Напишем формулу (8):
Из этой формулы на основании формулы (21) получаем
или
Аналогично
При любом 
получаем
Пример I. Из формулы 
путем дифференцирования левой к правой частей по параметру 
получаем
Пример 2. Из формулы (13) на основании формулы (21) получаем
Пример 3. Из формулы (16) на основании формулы (21) получаем
