Упражнения к главе XV
Вычислить следующие криволинейные интегралы:
Найти криволинейные интегралы, применяя формулу Стокса и непосредственно: —
Применяя формулу Остроградского, преобразовать поверхностные интегралы в интегралы по объему:
С помощью формулы Остроградского вычислить следующие интегралы:
где 
между касательной к контуру С и осью Ох. Если через 
обозначим угол между нормалью и осью Ох, то 
. Следовательно,
Полагая 
или
43. Доказать тождество (так называемую формулу Грина) 
где 
— функции, непрерывные и имеющие непрерывные производные до второго порядка в области b.
Символы 
обозначают следующее:
Решение. В формуле
положим 
Тогда
Следовательно,
44. Доказать тождество
Решение. Положим в формуле Грина, выведенной в предыдущем примере, 
. Тогда 
и мы получаем указанное тождество.
45. Если 
- гармоническая функция в некоторой области т. е. такая функция, которая в любой точке этой области удовлетворяет уравнению Лапласа
то
где а — замкнутая поверхность.
Решение. Это непосредственно следует из формулы задачи 44.
46. Пусть 
- гармоническая функция в некоторой области V и пусть в области V находится сфера о с центром в точке 
и радиусом R. Доказать, что
Решение. Рассмотрим область Q, ограниченную двумя сферами а, а радиусов 
с центрами в точке 
Применим к этой области формулу Грина, установленную в задаче 43, приняв за и указанную выше функцию, а за функцию 
Непосредственным дифференцированием и подстановкой убеждаемся, что 
или
На поверхностях 
величина 
постоянна 
и потому может быть вынесена за знак интеграла, В силу результата, установленного в задаче 45, имеем
Следовательно!
но
Поэтому
или
Применим к интегралу, стоящему слева, теорему о среднем;
и 
точка на поверхности сферы радиуса 
с центром в точке 
Заставим 
стремиться к нулю; тогда 
Следовательно, при 
получаем
Далее, так как правая часть равенства (1) не зависит от 
, то при 
окончательно получим
или
