§ 15. Решение дифференциального уравнения колебаний
Уравнение колебаний запишем в виде
где механический или физический смысл искомой функции 
коэффициентов 
и функции 
легко устанавливается
сравнением этого уравнения с уравнениями (42), (45), (46). Найдем решение уравнения (47), удовлетворяющее начальным условиям 
при 
Составим вспомогательное уравнение для уравнения (47):
где 
изображение функции 
Из равенства (48) находим 
Итак, для решения 
уравнения (45), удовлетворяющего начальным условиям 
при 
изображение будет иметь вид
Характер решения существенно зависит от того, будут ли корни трехчлена 
комплексные, или действительные различные, или действительные равные. Подробно рассмотрим случай, когда корни трехчлена комплексные, т. е. когда 
.
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Так как изображение суммы двух функций равно сумме их изображений, то на основании формулы (38) начальная функция для первой дроби, стоящей в правой части (49), будет иметь вид
Найдем далее начальную функцию, соответствующую дроби
Здесь воспользуемся теоремой свертывания, заметив, что
Следовательно, по формуле (39) получаем
Итак, из (49), учитывая (50) и (51), получаем: 
Если внешняя сила 
т. е. если мы имеем свободные механические или электрические колебания, то решение дается первым слагаемым правой части выражения (52). Если начальные условия равны нулю: 
то решение дается вторым слагаемым правой части равенства (52). Рассмотрим эти случаи подробнее.
