§ 5. Преобразование вектора в другой вектор с помощью матрицы

Пусть дан вектор

который запишем в виде столбцевой матрицы

Произведем преобразование проекций этого вектора с помощью матрицы

Получим новый вектор

который в виде столбцевой матрицы можно записать так

Пользуясь правилом умножения матриц, эту операцию преобразования можно записать так:

т. е.

При умножении квадратной матрицы на столбцевую получается столбцевая матрица той же высоты.

Очевидно, что преобразование трехмерного вектора X в вектор У — это другая формулировка преобразования трехмерного пространства в трехмерное.

Отметим, что система равенств (3) вытекает из матричного равенства (4) путем приравнивания элементов матриц, стоящих слева и справа.

Равенство (4) дает преобразование вектора X в вектор У с помощью матрицы А.

Все проведенные рассуждения для вектора в трехмерном пространстве переносятся на преобразование векторов в пространстве любого числа измерений.