§ 3. Одно, замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье
Отметим следующее свойство периодической функции 
с периодом 
каково бы ни было число 
.
Действительно, так как
то, полагая 
можем написать при любых 
В частности, принимая 
получим
поэтому
Указанное свойство означает, что интеграл от периодической функции 
по любому отрезку, длина которого равна периоду, имеет всегда одно и то же значение. Этот факт легко иллюстрируется и геометрически: площади, заштрихованные на рис. 381, равны между собой.
Рис. 381.
Из доказанного свойства вытекает, что при вычислении коэффициентов Фурье мы можем заменить промежуток интегрирования 
промежутком. интегрирования 
, т. е. можем положить
где 
— любое число.
Это следует из того, что по условию функция f(x) является периодической с периодом 
следовательно, и функции 
являются периодическими функциями с периодом 
Покажем на примере, как Доказанное свойство упрощает процесс нахождения коэффициентов в некоторых случаях.
Рис. 382.
Пример. Пусть требуется разложить в ряд Фурье функцию f (х) с периодом 
которая на отрезке 
задана равенством
График функции f(x) изображен на рис. 382. Эта функция на отрезке 
задается двумя формулами: 
на отрезке 
и
на отрезке 
В то же время на отрезке 
гораздо проще она задается одной формулой 
Поэтому для разложения этой фущс-. 
в ряд Фурье выгоднее воспользоваться формулами (I), приняв 
. В этих точках сумма ряда равна полусумме предельных Значений функции f (х) справа и слева (т. е. в данном случае числу 
).
