§ 3. Одно, замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье
Отметим следующее свойство периодической функции с периодом
каково бы ни было число .
Действительно, так как
то, полагая можем написать при любых
В частности, принимая получим
поэтому
Указанное свойство означает, что интеграл от периодической функции по любому отрезку, длина которого равна периоду, имеет всегда одно и то же значение. Этот факт легко иллюстрируется и геометрически: площади, заштрихованные на рис. 381, равны между собой.
Рис. 381.
Из доказанного свойства вытекает, что при вычислении коэффициентов Фурье мы можем заменить промежуток интегрирования промежутком. интегрирования , т. е. можем положить
где — любое число.
Это следует из того, что по условию функция f(x) является периодической с периодом следовательно, и функции являются периодическими функциями с периодом Покажем на примере, как Доказанное свойство упрощает процесс нахождения коэффициентов в некоторых случаях.
Рис. 382.
Пример. Пусть требуется разложить в ряд Фурье функцию f (х) с периодом которая на отрезке задана равенством
График функции f(x) изображен на рис. 382. Эта функция на отрезке задается двумя формулами: на отрезке и