§ 3. Одно, замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье

Отметим следующее свойство периодической функции с периодом

каково бы ни было число .

Действительно, так как

то, полагая можем написать при любых

В частности, принимая получим

поэтому

Указанное свойство означает, что интеграл от периодической функции по любому отрезку, длина которого равна периоду, имеет всегда одно и то же значение. Этот факт легко иллюстрируется и геометрически: площади, заштрихованные на рис. 381, равны между собой.

Рис. 381.

Из доказанного свойства вытекает, что при вычислении коэффициентов Фурье мы можем заменить промежуток интегрирования промежутком. интегрирования , т. е. можем положить

где — любое число.

Это следует из того, что по условию функция f(x) является периодической с периодом следовательно, и функции являются периодическими функциями с периодом Покажем на примере, как Доказанное свойство упрощает процесс нахождения коэффициентов в некоторых случаях.

Рис. 382.

Пример. Пусть требуется разложить в ряд Фурье функцию f (х) с периодом которая на отрезке задана равенством

График функции f(x) изображен на рис. 382. Эта функция на отрезке задается двумя формулами: на отрезке и

на отрезке В то же время на отрезке гораздо проще она задается одной формулой Поэтому для разложения этой фущс-. в ряд Фурье выгоднее воспользоваться формулами (I), приняв

Следовательно,

Этот ряд дает заданную функцию во всех точках, кроме точек разрыва (т. е. кроме точек . В этих точках сумма ряда равна полусумме предельных Значений функции f (х) справа и слева (т. е. в данном случае числу ).