§ 7. Распространение тепла в неограниченном стержне

Пусть в начальный момент задана температура в различных сечениях неограниченного стержня. Требуется определить распределение температуры в стержне в наследующие моменты времени. (К задаче распространения тепла в неограниченном стержне сводятся физические задачи в том случае когда стержень столь длинный, что температура во внутренних точках стержня в рассматриваемые моменты времени мало зависит от условий на концах стержня.)

Если стержень совпадает с осью , то математически задача формулируется следующим образом. Найти решение уравнения

в области удовлетворяющее начальному условию

Применим для нахождения решения метод разделения переменных (см. § 3), т. е. будем искать частное решение уравнения (1) в виде произведения двух функций:

Подставляя в уравнение (1), будем иметь , или

Каждое из этих отношений не может зависеть ни от ни от t, и потому их приравниваем постоянной . Из (4) получаем два уравнения

Решая их, найдем

Подставляя в (3), получаем

(постоянная С включена в и ).

Для каждого значения к мы получаем решение вида (7). Произвольные постоянные для каждого значения имеют определенные значения. Поэтому можно считать и В функциями от . В силу линейности уравнения (1) решением является также сумма решений вида (7):

Интегрируя выражение (7) по параметру к в пределах от 0 до также получим решение

если таковы, что этот интеграл, его производная по и вторая производная по существуют и получаются путем дифференцирования интеграла по t и х. Подберем так, чтобы решение удовлетворяло условию (2). Полагая в равенстве на основании условия (2) получаем

Предположим, что функция такова, что она представима

интегралом Фурье (см. § 13 гл. XVII):

или

Сравнивая правые части (9) и (10), получаем

Подставляя найденные выражения в формулу (8), получим

или, переставляя порядок интегрирования, окончательно получим

Это и есть решение поставленной задачи.

Преобразуем формулу (12). Вычислим интеграл, стоящий в круглых скобках:

Это преобразование интеграла сделано путем подстановок

Обозначим

Дифференцируя, получаем

Интегрируя по частям, найдем

или

Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим

Определим постоянную С. Из (15) следует

(см. § 5 гл. XIV). Следовательно, в равенстве (16) должно быть

Итак,

Значение (17) интеграла (15) подставляем в (13):

Подставляя вместо его выражение (14), окончательно получаем

значение интеграла (13):

Подставив это выражение интеграла в решение (12), окончательно получим:

Эта формула, называемая интегралом Пуассона, представляет собой решение «оставленной задачи о распространении тепла в неограниченном стержне.

Замечание. Можно доказать, что функция определенная интегралом (19), является решением уравнения (1) и удовлетворяет условию (2), если функция ограничена на бесконечном интервале

Установим физический смысл формулы (19). Рассмотрим функцию

Тогда функция

есть решение уравнения (1), принимающее при значение . Принимая во внимание (20), можем написать

Применив теорему о среднем к последнему интегралу, получим

Формула (22) дает значение температуры в точке стержня в любой момент времени, если при всюду в стержне температура кроме отрезка где она равна Сумма температур вида (22) и дает решение (19). Заметим, что если — линейная плотность стержня, с — теплоемкость материала, то количество тейла в элементе при будет

Рассмотрим далее функцию

Сравнивая ее с правой частью формулы (22) с учетом (23), говорят, что она дает значение температуры в любой точке стержня в любой момент времени t, если при в сечении (предельный случай при ) был мгновенный источник тепла с количеством тепла