Упражнения к главе XVIII

1. Вывести уравнение крутильных колебаний однородного цилиндрического стержня.

Указание. Закручивающий момент в сечении стержня с абсциссой определяется формулой где угол закручивания сечения с абсциссой в момент t, - модуль сдвига, - полярный момент инерции поперечного сечения стержня.

2. Наити решение уравнения удовлетворяющее условиям

Дать механическую интерпретацию задачи.

3. Вывести уравнение продольных колебаний однородного цилиндрического стержня. Указание. Если сечения стержня с абсциссой в момент t, то растягивающее напряжение Т в сечении определяется формулой — модуль упругости материзла, — площадь поперечного сечения стержня. Отв. где — плотность материала стержня.

4. Однородный стержень длины под действием сил, приложенных к его концам, укоротился на величину При он освобожден от действующих внешних сил. Определить смещение и сечения стержня с абсциссой в момент t (средняя точка оси стержня имеет абсциссу —0).

5. Один конец стержня длины l закреплен, а на другой действует растягивающая сила Р. Найти продольные колебания стержня, если при сила Р не действует.

Дать механическое истолкование задачи.

Указание Решение искать в виде суммы двух репений;

7. Наити решение уравнения удовлетворяющее условна:

Указание. Решить задачу методом разделения переменных.

8. Найти решение уравнения , удовлетворяющее условиям

9. Наити решение уравнения удовлетворяющее условиям;

Указать физический смысл задачи.

Указание. Искать решение в форме

10. Наити решение уравнения удовлетворяющее условиям:

Указать физический смысл задачи.

Указание. На конце стержня при происходит теплообмен с окружающей средой, температура которой равна нулю.

11. Найти (по формуле (10) § 6, полагая приближенное решение уравнения удовлетворяющее условиям

12. Найти решение уравнения Лапласа в , удовлетворяющее условиям

Указание. Искать решение методом разделения переменных.

13. Найти решение уравнения Лапласа в прямоугольнике , удовлетворяющее условиям

14. Найти решение уравнения внутри кольца, ограниченного окружностями удовлетворяющее условиям

Дать гидродинамическое истолкование задачи.

Указание. Решить задачу в полярных координатах.

15. Доказать, что функция есть решение уравнения удовлетворяющее условиям

16. В задачах 12—15 решить уравнения Лапласа при данных граничных условиях методом конечных разностей при Сравнить приближенное решение с точным.