§ 14. Дифференцирование степенных рядов

Теорема 1. Если степенной ряд

имеет интервал сходимости то ряд

полученный почленным дифференцированием ряда (1), имеет тот же интервал сходимости при этом

т. е. внутри интервала сходимости производная от суммы степенного ряда (1) равна сумме ряда, полученного почленным дифференцированием ряда (1).

Рис. 368

Доказательство. 1 Докажем, что ряд (2) мажорируем на любом отрезке целиком лежащем внутри интервала сходимости.

Возьмем точку 1 такую, что . В этой точке ряд (1) сходитсй, следовательно, , поэтому можно указать такое постоянное число М, что

Если

где

Таким образом, члены ряда при по абсолютной величине меньше членов числового положительного ряда с постоянными членами

Но последний ряд сходится, в чем можно убедиться, применяя признак Даламбера:

Следовательно, ряд (2) мажорируем на отрезке , и на основании теоремы 2 § 12 его сумма есть производная от суммы данного ряда на отрезке , т. е.

Так как всякую внутреннюю точку интервала можно заключить в некоторый отрезок , то отсюда следует, что ряд (2) сходится в любой внутренней точке интервала

Докажем, что вне интервала ряд (2) расходится. Допустим, что ряд (2) сходится при Интегрируя его почленно в интервале , где мы получили бы, что ряд (1) сходится в точке а это противоречит условиям теоремы. Таким образом, интервал есть интервал сходимости ряда (2). Теорема полностью доказана.

Ряд (2) снова можно почленно дифференцировать и продолжать так сколь угодно раз. Таким образом, получаем вывод:

Теорема 2. Если степенной ряд сходится в интервале то его сумма представляет собой функцию, имеющую внутри интервала сходимости производные любого порядка, каждая из которых есть сумма ряда, получающегося в результате почленного дифференцирования данного ряда соответствующее число раз; при этом интервал сходимости каждого ряда, получившегося в результате дифференцирования, есть тот интервал