§ 14. Уравнение Лагранжа

Уравнением Лагранжа называется уравнение вида

где известные функции от .

Это уравнение линейно относительно у и х. Рассмотренное в предыдущем параграфе уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа при Интегрирование уравнения Лагранжа, так же как и интегрирование уравнения Клеро, производится с помощью введения вспомогательного параметра . Положим

тогда исходное уравнение запишется в виде

Дифференцируя получим

или

Из этого уравнения сразу можно найти некоторые решения: именно, оно обращается в тождество при всяком постоянном значении удовлетворяющем условию

Действительно, при постоянном значении производная и обе части уравнения обращаются в нуль.

Решение, соответствующее каждому значению , т. е. является линейной функцией от так как производная постоянна только у линейных функций j. Для того чтобы найти эту функцию, достаточно подставить в равенство значение

Если окажется, что это решение не получается из общего ни при каком значении произвольной постоянной, то оно будет особым решением.

Найдем теперь общее решение. Для этого запишем уравнение в виде

и будем рассматривать как функцию от Тогда полученное уравнение будет линейным дифференциальным уравнением относительно функции от .

Решая его, найдем

Исключая параметр из уравнений и (2), получим общий интеграл уравнения (1) в виде

Пример Дано уравнение

Положив , будем иметь

Дифференцируя по получим

Найдем особые решения. Так как при то решениями будут лийейяые функции

Будут ли эти функции частными или особыми решениями, мы увидим, когда найдем общий интеграл. Для его разыскивания запишем уравнение

в виде и будем рассматривать как функцию независимой переменной . Интегрируя полученное линейное (относительно ) уравнение, находим

Исключая из уравнения: и (II), получим общий интеграл

Особым интегралом исходного уравнения будет

поскольку это решение не получается из общего ни при каком значении С.

Функция же является не особым, а частным решением; она получается из общего решения при