§ 28. Вынужденные колебания

Уравнение вынужденных колебаний имеет вид

Рассмотрим практически важный случай, когда возмущающая внешняя сила является периодической и изменяется по закону

тогда уравнение (1) примет вид

1) Предположим сначала, что т. е. корни характеристического уравнения — комплексные числа . В этом случае (см. формулы (12) и (13) § 27) общее решение однородного уравнения имеет вид

Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме

Подставляя это выражение у в исходное дифференциальное уравнение, находим значения М и

Прежде чем подставить найденные значения М и N в равенство (3), введем новые постоянные А и положив

т. е.

Тогда частное решение неоднородного уравнения можно записать в форме

или окончательно

Общий интеграл уравнения (1) равен т. е.

Первый член суммы, стоящей в правой части (решение однородного уравнения), представляет затухающие колебания; при увеличении t он убывает, и, следовательно, через некоторый промежуток времени главное значение будет иметь второй член, определяющий вынужденные колебания. Частота этих колебаний равна частоте внешней силы амплитуда вынужденных колебаний тем больше, чем меньше и чем ближе

Исследуем подробнее зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты со при различных значениях . Для этого обозначим амплитуду вынужденных колебаний через D (со):

Положим при равнялась бы частоте собственных колебаний). Тогда

Введем обозначения

где — отношение частоты возмущающей силы к частоте свободных колебаний системы, а постоянная у не зависит от возмущающей силы., Тогда величина амплитуды будет выражаться формулой

Найдем максимум этой функции. Он, очевидно, будет при том значении , при котором квадрат знаменателя имеет минимум. Но минимум функции

достигается при

и равен

Следовательно, максимальная величина амплитуды равна

Графики функции при различных значениях у показаны на рис. 279 (для определенности при построении графиков положено Эти кривые называются кривыми резонанса.

Рис. 279.

Из формулы (5) следует, что при малых у максимальное значение амплитуды достигается при значениях близких к единице, т. е. когда частота внешней силы близка к частоте свободных колебаний. Если (следовательно, ), т. е. если отсутствует сопротивление движению, амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает при т. е. при

При имеет место явление резонанса.

2) Предположим теперь, что т. е. рассмотрим уравнение упругих колебаний без сопротивления при наличии периодической внешней силы

Общее решение однородного уравнения

Если , т. е. если частота внешней силы не равна частоте собственных колебаний, то частное решение неоднородного уравнения имеет вид

Подставляя это выражение в исходное уравнение, найдем

Общее решение есть

Таким образом, движение получается в результате наложения собственного колебания с частотой и вынужденного колебания с частотой .

Рис. 280.

Если , т. е. частота собственных колебаний совпадает с частотой внешней силы, то функция (3) не является решением уравнения (6). В этом случае в соответствии с результатами § 24 частное решение надо искать в форме

Подставляя это выражение в уравнение, найдем М и N:

Следовательно,

Общее решение будет иметь вид

Второй член, стоящий в правой части, показывает, что в этом случае амплитуда колебания неограниченно возрастает при неограниченном возрастании времени t. Это явление, имеющее место

при совпадении частоты собственных колебаний системы с частотой внешней силы, называется резонансом.

График функции у изображен на рис. 280.