Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 28. Вынужденные колебания
Уравнение вынужденных колебаний имеет вид
Рассмотрим практически важный случай, когда возмущающая внешняя сила является периодической и изменяется по закону
тогда уравнение (1) примет вид
1) Предположим сначала, что т. е. корни характеристического уравнения — комплексные числа . В этом случае (см. формулы (12) и (13) § 27) общее решение однородного уравнения имеет вид
Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме
Подставляя это выражение у в исходное дифференциальное уравнение, находим значения М и
Прежде чем подставить найденные значения М и N в равенство (3), введем новые постоянные А и положив
т. е.
Тогда частное решение неоднородного уравнения можно записать в форме
или окончательно
Общий интеграл уравнения (1) равен т. е.
Первый член суммы, стоящей в правой части (решение однородного уравнения), представляет затухающие колебания; при увеличении t он убывает, и, следовательно, через некоторый промежуток времени главное значение будет иметь второй член, определяющий вынужденные колебания. Частота этих колебаний равна частоте внешней силы амплитуда вынужденных колебаний тем больше, чем меньше и чем ближе
Исследуем подробнее зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты со при различных значениях . Для этого обозначим амплитуду вынужденных колебаний через D (со):
Положим при равнялась бы частоте собственных колебаний). Тогда
Введем обозначения
где — отношение частоты возмущающей силы к частоте свободных колебаний системы, а постоянная у не зависит от возмущающей силы., Тогда величина амплитуды будет выражаться формулой
Найдем максимум этой функции. Он, очевидно, будет при том значении , при котором квадрат знаменателя имеет минимум. Но минимум функции
достигается при
и равен
Следовательно, максимальная величина амплитуды равна
Общее решение однородного уравнения
Если , т. е. если частота внешней силы не равна частоте собственных колебаний, то частное решение неоднородного уравнения имеет вид
Подставляя это выражение в исходное уравнение, найдем
Общее решение есть
Таким образом, движение получается в результате наложения собственного колебания с частотой и вынужденного колебания с частотой .
Рис. 280.
Если , т. е. частота собственных колебаний совпадает с частотой внешней силы, то функция (3) не является решением уравнения (6). В этом случае в соответствии с результатами § 24 частное решение надо искать в форме
Подставляя это выражение в уравнение, найдем М и N:
Следовательно,
Общее решение будет иметь вид
Второй член, стоящий в правой части, показывает, что в этом случае амплитуда колебания неограниченно возрастает при неограниченном возрастании времени t. Это явление, имеющее место
при совпадении частоты собственных колебаний системы с частотой внешней силы, называется резонансом.
График функции у изображен на рис. 280.