§ 14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Аналогично тому, как это было сделано ранее для дискретной случайной величины, рассмотрим числовые характеристики непрерывной случайной величины с плотностью распределения

Определение 1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения f(x) называется выражение

Если случайная величина может принимать значения только на конечном отрезке , то математическое ожидание выразится формулой

Формулу (1) можно рассматривать как обобщение формулы (1) § 9.

Действительно, - разобьем отрезок на интервалы В каждом из интервалов возьмем точку Рассмотрим вспомогательную дискретную случайную величину которая может принять значения

Пусть вероятности соответствующих значений дискретной случайной величины будут

Математическое ожидание данной дискретной величины будет

или

Переходя к пределу при получаем

Выражение, стоящее справа, есть математическое ожидание непрерывной случайной величины которая может принимать любое значение принадлежащее отрезку Аналогичное рассуждение можно провести и для бесконечного интервала, т. е. для выражения Формулы (1) и аналогичны формуле (1) § 9 для дискретной случайной величины. Математическое ожидание также будем обозначать

Математическое ожидание называют центром распределения вероятностей случайной величины . Если кривая распределения симметрична относительно оси Оу, т. е. - функция четная, то очевидно, что

В этом случае центр распределения вероятностей совпадает с началом координат (рис. 427). Рассмотрим центрированную

чайную величину Найдем ее математическое ожидание:

Математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю.

Определение 2. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины:

Формула (2) аналогична формуле (2) § 10.

Определение 3. Среднеквадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из дисперсии:

Эта формула аналогична формуле (3) § 10. При рассмотрении конкретных примеров мы увидим, что, как и в случае дискретной случайной величины, дисперсия и среднеквадратичное отклонение характеризуют рассеивание значений случайной величины.

Рис. 426.

Рис. 427.

Рис. 428,

Определение 4. Значение случайной величины при котором плотность распределения имеет наибольшее, значение, называется модой (будем ее обозначать ). Для случайной величины х, кривая распределения которой изображена на рис. 426 и 427, мода совпадает с математическим ожиданием.

Определение 5. Число, которое мы обозначим называется медианой, если оно удовлетворяет равенству

(рис. 428). Последнее равенство можно переписать так:

т. е. равновероятно, что случайная величина примет значение, меньшее и большее

Заметим, что сама случайная величина может значения и не принимать.