§ 13. Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому

Пусть - произвольный вектор:

заданный в базисе Вектор X преобразуется с помощью матрицы А в вектор У:

Введем в рассматриваемом пространстве новый базис связанный со старым базисом формулами перехода

Пусть вектор в новом базисе напишется так:

Можем написать равенство

где в правую часть подставлены выражения (4). Приравнивая коэффициенты при векторах справа и слева, получим равенства

или коротко

где

Эта матрица невырожденная, имеет обратную матрицу так как система (7) имеет определенное решение относительно Если в новом базисе запишем вектор

то, очевидно, имеет место равенство

Подставляя выражения (8) и (10) в (3), получим

Умножая обе части равенства на получим

Следовательно, матрица A преобразования в новом базисе будет

Пример. Пусть с помощью матрицы А

производится преобразование вектора в базисе Определить матрицу преобразования A в базисе , если

Решение. Здесь матрица В такова (см. формулы (4) и

Найдем обратную матрицу

Далее находим

Окончательно по формуле (13) находим

Докажем, далее, следующую теорему.

Теорема 1. Характеристический многочлен (левая часть уравнения (8) § 11) не меняется в зависимости от выбора базиса при данном линейном преобразовании.

Доказательство. Напишем два матричных равенства

где — матрицы, соответствующие различным базисам при одном и том же линейном преобразовании, В — матрица перехода от новых координат к старым, Е — единичная матрица.

На основании двух последних равенств получаем

Переходя от матриц к определителям и пользуясь правилом умножения матриц и определителей, получаем

Но

Следовательно,

Слева и справа стоят характеристические многочлены матриц преобразования. Теорема доказана.