§ 26. Решение дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений (метод итераций)

В §§ 32—34 гл. XIII были рассмотрены приближенное интегрирование дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений разностными методами. Здесь мы изложим другой метод приближенного интегрирования дифференциального уравнения.

Отметим, что данное рассмотрение одновременно явится доказательством теоремы о существовании решения дифференциального уравнения (см. § 2 гл. XIII). Нам потребуется использовать теорию рядов.

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию

Интегрируя члены уравнения (1) в пределах от до и учитывая, что , получаем

В последнем уравнении искомая функция у находится под знаком интеграла, и потому это уравнение называется интегральным уравнением.

Функция удовлетворяющая уравнению (1) и начальным условиям (2), удовлетворяет уравнению (3). Очевидно, что функция удовлетворяющая уравнению (3), удовлетворяет уравнению (1) и начальным условиям

Рассмотрим сначала метод получения приближенных решений уравнения (1) при начальных условиях (2).

Будем считать нулевым приближением решения. Подставляя в подынтегральную функцию в правой части равенства (3) вместо у значение получим

Это есть первое приближенное решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (2).

Подставляя первое приближение в подынтегральную функцию в равенства (3), получаем

Это второе приближение. Продолжаем этот процесс:

О том, какое приближение нужно взять, чтобы оно удовлетворяло требованиям нужной нам точности, будет указано ниже.

Пример. Найти приближенное решение уравнения удовлетворяющее начальному условию при

Решение. По формуле (4) получаем