§ 11. Тройной интеграл

Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Пусть в области У и на ее границе определена некоторая непрерывная функция , где — прямоугольные координаты точки области. Для ясности в случае, если , мы можем считать эту функцию плотностью распределения некоторого вещества в области V.

Разобьем область V произвольным образом на области обозначая символом , не только саму область, но и ее объем. В пределах каждой частичной области , выберем произвольную точку и обозначим через значение функции f в этой точке. Составим интегральную сумму вида

и будем неограниченно увеличивать число малых областей так, чтобы наибольший диаметр стремился к нулю . Если функция непрерывна, то при этом будет существовать предел интегральных сумм вида (1), где предел интегральных сумм понимается в таком же смысле, как это было указано при определении двойного интеграла. Этот предел, не зависящий ни от способа разбиения области V, ни от выбора точек обозначается символом и называется тройным интегралом. Таким образом, по определению

или

Если считать объемной плотностью распределения вещества в области V, то интеграл (2) даст массу всего вещества, заключенного в объеме V.