§ 18. Формула Эйлера

До сих пор мы рассматривала только ряды с действительными членами, не затрагивая рядов с комплексными членами. Не приводя полной теории рядов с комплексными членами, которая выходит за райки данного учебника, рассмотрим только один важный пример из этой области.

В главе VII (т. I) была определена функция равенством

При получаем формулу Эйлера.

Если определить показательную функцию с мнимым показателем с помощью формулы (2) § ,17, дающей представление функции в виде степенного ряда, то мы получим то же равенство Эйлера. Действительно, определим положив в равенстве (2) § 17 вместо выражение :

Принимая во внимание, что и т. д., преобразуем формулу (1) к виду

Отделяя в этом ряде действительную и мнимую части, найдем

В скобках стоят степенные ряды, суммы которых равны соответственно (см. формулы (3) и (1) предыдущего параграфа). Следовательно,

Таким образом, мы пришли снова к формуле Эйлера.