§ 10. Вспомогательное уравнение для данного дифференциального уравнения

Пусть мы имеем линейное дифференциальное уравнение порядка с постоянными коэффициентами

Требуется найти решение этого уравнения при удовлетворяющее начальным условиям:

Поставленную задачу ранее мы решали так: находили общее решение уравнения (31), содержащее произвольных постоянных; потом постоянные определяли так, чтобы удовлетворялись начальные условия (32).

Здесь мы изложим более простой метод решения этой задачи — метод операционного исчисления. Будем находить изображение решения уравнения (31), удовлетворяющего условиям (32). Это L - изображение обозначим через таким образом,

Предположим, что существуют изображения решения уравнения (31) и его производных до порядка (после разыскания решения мы можем проверить справедливость этого предположения).

Умножим все члены равенства (31) на и проинтегрируем по t в пределах от 0 до

В левой части равенства стоят L-изображения функции производных, справа L-изображение функции , которое обозначим через F(p). Следовательно, равенство (33) можно переписать так:

Подставляя в это равенство вместо изображений функции и ее производных выражения (27), (29), (30), получаем

Уравнение (34) называется вспомогательным уравнением, или изображающим уравнением. В этом уравнении неизвестным является изображение которое из него и определяется. Преобразуем его, оставив в левой части члены, содержащие

Коэффициент при в левой части равенства (34) есть многочлен степени от , который получается, если в левую часть уравнения (31) вместо производных поставить соответствующие степени . Обозначим его через :

Правая часть уравнения (34) составляется следующим образом:

Все эти произведения складываются. Прибавляется еще изображение правой части дифференциального уравнения . Все члены правой части равенства (34), кроме , после приведения подобных членов образуют многочлен от степени с известными коэффициентами. Обозначим его через Таким образом, уравнение (34) можно переписать так:

Из этого уравнения и определяем

Такое определенное есть изображение решения уравнения (31), удовлетворяющего начальным условиям (32). Если теперь мы найдем функцию изображение которой — функция определенная равенством (36), то на основании теоремы единственности, сформулированной в § 1, будет следовать, что есть решение уравнения (31), удовлетворяющее условиям (32), т. е.

Если мы будем находить решение уравнения (31) при нулевых начальных условиях: то в равенстве (36) будет и оно примет вид

или

Пример 1. Найти решение уравнения

удовлетворяющее начальному условию: при

Решение. Составляем вспомогательное уравнение Разлагая стоящую справа дробь на элементарные, получим , Пользуясь формулами 1 и 4 таблицы 1, находим решение

Пример 2. Найти решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям при

Решение. Напишем вспомогательное уравнение или Разлагая эту дробь на элементарные, получим

На основании формул 1 и 3 таблицы 1 находим решение:

Пример 3. Найти решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям при .

Решение. Напишем вспомогательное уравнение (34):

или

Разлагая эту дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов, получим

По формулам 9, 1 и 4 таблицы 1 находим решение:

Пример 4. Найти решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям при

Решение. Пишем вспомогательное уравнение (34):

или

откуда находим

Разлагая последнюю дробь правой части на элементарные, можно написать

или

На основании формул 8, 7, 3 и 2 таблицы 1 получаем решение:

или окончательно